Prufer 序列

Prufer 序列实际上是一种转化的产物，这种转化使得一棵有 $n$ 个点的无根树可以在线性时间内与一个有 $n-2$ 个元素，且序列中元素权值在 $[1,n]$ 中的序列互相转化。

它与单纯的父节点组成的序列区别在于：对于每棵树，它的 Prufer 序列是唯一的，每一个 Prufer 序列也对应着唯一一棵树。换句话说，树与 Prufer 序列是双射关系。

Prufer 序列强大的地方就在这里。把一棵树转化为一个序列，而序列的计数难度明显小于树的计数。

由树转化成 Prüfer 序列

先给出转化的步骤：

1. 寻找到当前最小的叶子节点 $u$。
2. 把 $u$ 的父亲加入 Prüfer 序列。
3. 从树上删去 $u$。
4. 重复前三个步骤，直到 Prüfer 序列有 $n-2$ 个数。此时原树必定只剩下两个点。

一个显然的想法是使用小根堆，时间复杂度为 $O(n\log n)$。但是在这里我们有线性做法：

1. 找到当前最小叶子节点 $u$。
2. 把 $u$ 的父亲 $fa$ 加入 Prüfer 序列，并将 $fa$ 的度数减少 $1$。
3. 如果 $fa$ 的度数变为 $1$，且 $fa<u$，那么将 $fa$ 的父亲 $h$ 加入 Prüfer 序列。因为此时 $fa$ 必定为最小叶子（$u$ 本来为最小叶子，但是 $fa$ 比 $u$ 还小。在删去 $u$ 的过程中没有除 $fa$ 以外的新叶子产生，所以 $fa$ 为最小叶子）。
4. 重复第三步，每次都跟 $u$ 比较。直到有一个不符合条件。此时增加 $u$。
5. 重复前四步，直到 Prüfer 序列有 $n-2$ 个数，此时原树必定只剩下两个点。

for (int i = 1; i <= n; ++i) deg[fa[i]]++;

static int check[N], tot;

for (int i = 1; i <= n; ++i) if (deg[i] == 0) check[i] = 1;

for (int mn = 1; mn < n; ++mn) {

  int u = mn;

  while (check[u] == 1) {

	p[++tot] = fa[u];

	if (tot == n - 2) break;

	check[u] = 0;deg[fa[u]]--;

	if (deg[fa[u]] == 0) {

	  check[fa[u]] = 1;

	  if (mn > fa[u]) u = fa[u];

	}

  }

  if (tot == n - 2) break;

}

Prüfer 序列的性质

1. Prufer 序列中每个点出现的次数代表它有几个儿子，即度数 $+1$。

由 Prüfer 序列还原树

先给出还原步骤：

1. 找到当前最小的，不在序列中的点 $u$，序列中的下标最小点 $v$ 即为 $u$ 的父亲。
2. 删除序列中的第一个 $v$。
3. 重复以上步骤，最后会留下最大点和一个点 $u$。在一般题目里我们不妨设最大点为无根树的假想根，那么最后的步骤是将 $u$ 连向最大点。

类似于树转 Prüfer 序列，我们也有线性方法：

1. 找到当前最小的，不在序列中的点 $u$，序列中下标最小的点 $v$ 即为 $u$ 的父亲。
2. 删除序列中的第一个 $v$，如果 $v$ 删除后不再在序列中出现，且 $v<u$，那么 $v$ 的父亲即为序列中下标最小的点的父亲。
3. 重复步骤二，每次与 $u$ 比较，直到有一个不符合条件。此时增加 $u$。
4. 重复以上步骤，直到 Prüfer 序列为空。

for (int i = 1; i <= n - 2; ++i) deg[p[i]]++;

static int tot;

for (int mn = 1; mn < n; ++mn) {

  int u = mn;

  while (deg[u] == 0) {

	fa[u] = p[++tot];

	deg[u] = 1;

	if (tot == n - 2) break;

	deg[fa[u]]--;

	if (deg[fa[u]] == 0) if (mn > fa[u]) u = fa[u];

  }

  if (tot == n - 2) break;

}

for (int i = 1; i < n; ++i) if (fa[i] == 0) fa[i] = n;