Prufer 序列

Prufer 序列实际上是一种转化的产物，这种转化使得一棵有 \(n\) 个点的无根树可以在线性时间内与一个有 \(n-2\) 个元素，且序列中元素权值在 \([1,n]\) 中的序列互相转化。

它与单纯的父节点组成的序列区别在于：对于每棵树，它的 Prufer 序列是唯一的，每一个 Prufer 序列也对应着唯一一棵树。换句话说，树与 Prufer 序列是双射关系。

Prufer 序列强大的地方就在这里。把一棵树转化为一个序列，而序列的计数难度明显小于树的计数。

由树转化成 Prüfer 序列

先给出转化的步骤：

1. 寻找到当前最小的叶子节点 \(u\)。
2. 把 \(u\) 的父亲加入 Prüfer 序列。
3. 从树上删去 \(u\)。
4. 重复前三个步骤，直到 Prüfer 序列有 \(n-2\) 个数。此时原树必定只剩下两个点。

一个显然的想法是使用小根堆，时间复杂度为 \(O(n\log n)\)。但是在这里我们有线性做法：

1. 找到当前最小叶子节点 \(u\)。
2. 把 \(u\) 的父亲 \(fa\) 加入 Prüfer 序列，并将 \(fa\) 的度数减少 \(1\)。
3. 如果 \(fa\) 的度数变为 \(1\)，且 \(fa<u\)，那么将 \(fa\) 的父亲 \(h\) 加入 Prüfer 序列。因为此时 \(fa\) 必定为最小叶子（\(u\) 本来为最小叶子，但是 \(fa\) 比 \(u\) 还小。在删去 \(u\) 的过程中没有除 \(fa\) 以外的新叶子产生，所以 \(fa\) 为最小叶子）。
4. 重复第三步，每次都跟 \(u\) 比较。直到有一个不符合条件。此时增加 \(u\)。
5. 重复前四步，直到 Prüfer 序列有 \(n-2\) 个数，此时原树必定只剩下两个点。

for (int i = 1; i <= n; ++i) deg[fa[i]]++;

static int check[N], tot;

for (int i = 1; i <= n; ++i) if (deg[i] == 0) check[i] = 1;

for (int mn = 1; mn < n; ++mn) {

  int u = mn;

  while (check[u] == 1) {

	p[++tot] = fa[u];

	if (tot == n - 2) break;

	check[u] = 0;deg[fa[u]]--;

	if (deg[fa[u]] == 0) {

	  check[fa[u]] = 1;

	  if (mn > fa[u]) u = fa[u];

	}

  }

  if (tot == n - 2) break;

}

Prüfer 序列的性质

1. Prufer 序列中每个点出现的次数代表它有几个儿子，即度数 \(+1\)。

由 Prüfer 序列还原树

先给出还原步骤：

1. 找到当前最小的，不在序列中的点 \(u\)，序列中的下标最小点 \(v\) 即为 \(u\) 的父亲。
2. 删除序列中的第一个 \(v\)。
3. 重复以上步骤，最后会留下最大点和一个点 \(u\)。在一般题目里我们不妨设最大点为无根树的假想根，那么最后的步骤是将 \(u\) 连向最大点。

类似于树转 Prüfer 序列，我们也有线性方法：

1. 找到当前最小的，不在序列中的点 \(u\)，序列中下标最小的点 \(v\) 即为 \(u\) 的父亲。
2. 删除序列中的第一个 \(v\)，如果 \(v\) 删除后不再在序列中出现，且 \(v<u\)，那么 \(v\) 的父亲即为序列中下标最小的点的父亲。
3. 重复步骤二，每次与 \(u\) 比较，直到有一个不符合条件。此时增加 \(u\)。
4. 重复以上步骤，直到 Prüfer 序列为空。

for (int i = 1; i <= n - 2; ++i) deg[p[i]]++;

static int tot;

for (int mn = 1; mn < n; ++mn) {

  int u = mn;

  while (deg[u] == 0) {

	fa[u] = p[++tot];

	deg[u] = 1;

	if (tot == n - 2) break;

	deg[fa[u]]--;

	if (deg[fa[u]] == 0) if (mn > fa[u]) u = fa[u];

  }

  if (tot == n - 2) break;

}

for (int i = 1; i < n; ++i) if (fa[i] == 0) fa[i] = n;