三角恒等变换

我觉得我三角函数会寄，于是稍微记一下这些公式。

为什么是下午而不是晚上呢？晚上我要被拉着去吃饭，不知道还有没有时间（而且我还想把铃芽之旅看掉啊啊）。

三角函数角和公式

\sin A + \sin B = \sin A \cos B + \sin B \cos A

$\sin A+\sin B=\sin A\cos B+\sin B\cos A$

\cos A + \cos B = \cos A \cos B - \sin A \sin B

$\cos A+\cos B=\cos A\cos B-\sin A\sin B$

\tan A + \tan B = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}

$\tan A+\tan B=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}$

三角函数差公式

\sin A - \sin B = \sin A \cos B - \sin B \cos A

$\sin A-\sin B=\sin A\cos B-\sin B\cos A$

\cos A - \cos B = \cos A \cos B + \sin A \sin B

$\cos A-\cos B=\cos A\cos B+\sin A\sin B$

\tan A - \tan B = \frac{\tan A - \tan B}{1 - \tan A \tan B}

$\tan A-\tan B=\frac{\tan A-\tan B}{1-\tan A\tan B}$

以上六个公式建议直接背。。。第一，他们并不是很难背，第二，他们的证明很复杂（不然我干嘛不写啊喂）。

令上面和的三个公式中的 $A=B=\alpha$ ，我们可以得到二倍角公式：

\sin 2 α = 2 \sin α \cos α

$\sin2\alpha =2\sin\alpha \cos \alpha$

\cos 2 α = \cos^{2} α - \sin^{2} α

$\cos 2\alpha =\cos ^ 2\alpha -\sin ^ 2\alpha$

\tan 2 α = \frac{2 \tan α}{1 - \tan^{2} α}

$\tan 2\alpha=\frac{2\tan \alpha }{1-\tan ^ 2\alpha }$

这里需要额外注意第二个公式，由于我们有 $\cos \alpha ^2+\sin\alpha ^2=1$ ，所以我们可以任意消去其中一个得到：

\cos 2 α = 2 \cos^{2} α - 1

$\cos 2\alpha =2\cos ^ 2\alpha -1$

\cos 2 α = 1 - 2 \sin^{2} α

$\cos 2\alpha =1 -2\sin ^ 2\alpha$

这实际上向我们反应了二倍角与高幂角之间的关系。

回到正弦和公式。在有一些时候，我们想要把正弦余弦消掉一个，但我们可能只知道作为系数的 $\cos B,\sin B$ 却不知道 $B$ 的具体数值（甚至 $B$ 有时根本不存在！），这时需要我们对正弦和公式进行小小的逆用。

例题：求 $\sin A+\cos A$ 的范围。

如果只有一个 $\sin$ 是好做的，于是我们想到将一个变量与两个变量连接起来的正弦和公式。但是这里的 $B$ 压根不存在，于是我们提出一个 $\sqrt{2}$ 可以得到：

$\sqrt{2}(\sin A\frac{1}{\sqrt{2}}+\cos A\frac{1}{\sqrt{2}})$

发现 $\frac{1}{\sqrt{2}} = \sin\frac{\pi}{4} = \cos \frac{\pi}{4}$ ，于是进行转换：

$\sqrt{2}(\sin A \\cos \frac{\pi}{4}+\sin B\cos \frac{\pi}{4})$

发现后面是正弦和公式，于是直接转换后计算即可。

我们将解法扩展，现在我们想求 $A\sin \alpha + B\sin \alpha$ ，和上面的过程相似，我们可以得到其等于：

\sqrt{A^{2} + B^{2}} (\sin α \frac{A}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} + \cos α \frac{B}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}})

$\sqrt{A^2+B^2}(\sin\alpha \frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}} + \cos\alpha\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}})$

发现 $\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}$ 与 $\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}$ 刚好是一对正弦余弦，于是我们可以得出原式等于 $\sqrt{A^2+B^2}\sin{(\alpha+\beta)}$ ，其中 $\sin \beta = \frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}},\cos \beta = \frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}$ 。