三角恒等变换

我觉得我三角函数会寄，于是稍微记一下这些公式。

为什么是下午而不是晚上呢？晚上我要被拉着去吃饭，不知道还有没有时间（而且我还想把铃芽之旅看掉啊啊）。

三角函数角和公式

\[\sin A+\sin B=\sin A\cos B+\sin B\cos A \]

\[\cos A+\cos B=\cos A\cos B-\sin A\sin B \]

\[\tan A+\tan B=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B} \]

三角函数差公式

\[\sin A-\sin B=\sin A\cos B-\sin B\cos A \]

\[\cos A-\cos B=\cos A\cos B+\sin A\sin B \]

\[\tan A-\tan B=\frac{\tan A-\tan B}{1-\tan A\tan B} \]

以上六个公式建议直接背。。。第一，他们并不是很难背，第二，他们的证明很复杂（不然我干嘛不写啊喂）。

令上面和的三个公式中的 \(A=B=\alpha\)，我们可以得到二倍角公式：

\[\sin2\alpha =2\sin\alpha \cos \alpha \]

\[\cos 2\alpha =\cos ^ 2\alpha -\sin ^ 2\alpha \]

\[\tan 2\alpha=\frac{2\tan \alpha }{1-\tan ^ 2\alpha } \]

这里需要额外注意第二个公式，由于我们有 \(\cos \alpha ^2+\sin\alpha ^2=1\)，所以我们可以任意消去其中一个得到：

\[\cos 2\alpha =2\cos ^ 2\alpha -1 \]

\[\cos 2\alpha =1 -2\sin ^ 2\alpha \]

这实际上向我们反应了二倍角与高幂角之间的关系。

回到正弦和公式。在有一些时候，我们想要把正弦余弦消掉一个，但我们可能只知道 作为系数的\(\cos B,\sin B\) 却不知道 \(B\) 的具体数值（甚至 \(B\) 有时根本不存在！）， 这时需要我们对正弦和公式进行小小的逆用。

例题：求 \(\sin A+\cos A\) 的范围。

如果只有一个 \(\sin\) 是好做的，于是我们想到将一个变量与两个变量连接起来的正弦和公式。但是这里的 \(B\) 压根不存在，于是我们提出一个 \(\sqrt{2}\) 可以得到：

\(\sqrt{2}(\sin A\frac{1}{\sqrt{2}}+\cos A\frac{1}{\sqrt{2}})\)

发现 \(\frac{1}{\sqrt{2}} = \sin\frac{\pi}{4} = \cos \frac{\pi}{4}\)，于是进行转换：

\(\sqrt{2}(\sin A \\cos \frac{\pi}{4}+\sin B\cos \frac{\pi}{4})\)

发现后面是正弦和公式，于是直接转换后计算即可。

我们将解法扩展，现在我们想求 \(A\sin \alpha + B\sin \alpha\)，和上面的过程相似，我们可以得到其等于：

\[\sqrt{A^2+B^2}(\sin\alpha \frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}} + \cos\alpha\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}) \]

发现 \(\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}\) 与 \(\frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}}\) 刚好是一对正弦余弦，于是我们可以得出原式等于 \(\sqrt{A^2+B^2}\sin{(\alpha+\beta)}\)，其中 \(\sin \beta = \frac{B}{\sqrt{A^2+B^2}},\cos \beta = \frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}\)。

显然，这个也可以做减法。但是我要下班了，于是先写到这里