拉格朗日插值入门

我们都知道，通过 \(n+1\) 个点可以求出一个 \(n\) 次的多项式，使这个多项式通过这 \(n+1\) 个点。拉格朗日插值，就是一种求这个多项式的方法。这种方法使如此的睿智，以至于我可以用对话把它表示出来：

“这个多项式要穿过这 \(n+1\) 个点”

“我能不能只让他穿过一个点？”

“当然可以，只要 \(f(x) = y_1(x-x_1)\) 就行。”

“那我把这 \(n+1\) 个式子加起来，不就满足所有要求了吗？”

“你闲的慌。加起来 \(f(x)\) 就不是一个 \(x\) 和 \(y\) 了。”

“那把他改成一个 \(x\) 对应一个 \(y\) 时是当前坐标，其他时候为 0 不就好了？”

“那你怎么统计呢？”

\[f(x)=\sum_{i=1}^{n+1}y_i\prod^{i\neq j}_{}\frac{x-x_i}{x_i-x_j} \]

“你看，当 \(x = x_i\) 就是 \((x_i,y_i)\)，否则后面的那一坨就变成 \(0\) 了。”