[LuoguP2948][USACO09OPEN]Ski Lessons G

P2948 [USACO09OPEN]Ski Lessons G

前言

​ 我已经很久很久，很久很久，没有只依靠自己想出一个DP了。开心。

Solution

​ 首先设计一下状态，\(f_{i,j}\) 表示在时间 i ，能力值为 j 的时候能滑的最多场数。

​ 接下来考虑在第 i 秒能干什么。有以下选项：

• 啥也不干，于是 \(f_{i+1,j}\) 可以被 \(f_{i,j}\) 更新

• 上一节课，\(f_{i+L_k,A_k}\) 可以被 \(f_{i,j}\) 更新，\(k\) 为一个在 i 时间开始的课程。

• 滑一场雪，\(f_{i+D_k,j}\) 可以被 \(f_{i,j}\) 更新，\(k\) 为一个滑雪场。

  ​ 但是现在时间复杂度很显然不对，到达了 \(O(TVN)\) 的级别，其中 \(V\) 为能力值域。

  ​ 问题在于枚举一个滑雪场过于冗杂。观察到一个滑雪场可以滑多次，这启发我们贪心，对于一切以当前能力值可以滑的场，总是从中选一个耗时最小的来滑。就可以省去枚举。

  ​ 而这个耗时最小的场既可以用数据结构维护也可以提前预处理，此处我选择预处理，预处理时间复杂度为\(O(NV)\),总的时间复杂度在 \(O(VN+TV+VS)\), \(VS\) 是因为每堂课会被枚举V次。

  ​ 初始化为 \(f_{0,1}=0\),其余负无穷。

  CODE

  #define fe(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
  #define pii pair<int,int>
  #define mp(a,b) make_pair(a,b)
  const int inf=1e9;
  int t,s,n,minn[105],f[20005][105],ans;
  vector< pii > cl[10005];
  inline int M_min(int a,int b){return a<b?a:b;}
  inline int M_max(int a,int b){return a>b?a:b;}
  int main(){
  	t=read(),s=read(),n=read();
  	fe(i,0,100)minn[i]=inf;
  	fe(i,1,s){
  		int x=read(),y=read(),z=read();
  		cl[x].push_back(mp(y,z));
  	}
  	fe(i,1,n){
  		int c=read(),d=read();
  		fe(j,c,100)minn[j]=M_min(minn[j],d);
  	}
  	memset(f,-0x3f,sizeof(f));
  	f[0][1]=0;
  	fe(i,0,t){
  		int u=cl[i].size();
  		fe(j,0,100)if(f[i][j]>=0){
  			ans=M_max(ans,f[i][j]);
  			fe(k,0,u-1)f[i+cl[i][k].first][cl[i][k].second]=M_max(f[i][j],f[i+cl[i][k].first][cl[i][k].second]);
  			f[i+1][j]=M_max(f[i+1][j],f[i][j]);
  			if(i+minn[j]<=t)f[i+minn[j]][j]=M_max(f[i+minn[j]][j],f[i][j]+1);
  		}
  	}
  	printf("%d",ans);
  	return 0;
  }