[LuoguP4303] 基因匹配

P4303 基因匹配

前言

​ 因为看到这题没有人用偏序的讲法感到十分奇怪，就来整一发。

Solution

​ 首先这是一个 LCS 问题，而在最长公共子序列的题解之中可以找到大量关于 LCS 的解决方案。

​ 以下简要阐述我关于如何将 LCS 转化为 LIS 的简要概括。

• 对于任意公共子序列 \(S=s_1s_2s_3...s_k\) ,对于其中某元素 \(s_i\) 记它在第一个串中的位置为 \(a_i\) 在第二个串中为 \(b_i\)
• 那么 \(\forall i > 1,a_i>a_{i-1},b_i>b_{i-1}\) 恒成立

于是这个问题就变成了一个二维偏序问题，这也是 LIS 的经典解法。

​ 如果说不知道什么是二维偏序，可以上网搜索。以下给出简要理解。二维偏序是一种要求同时满足两个偏序关系（两个不等式）的计数问题。可以先通过排序解决一个不等式，然后再用数据结构或CDQ等方式解决。

​ 此处使用权值树状数组，记录位置早于 x 的最大值。值得一提的是，以在第二个串中的下标顺序计算可以直接符合一个偏序，无需排序。

​ 用几何的方式来解释，即以某个字符在第二个串中的位置作为横坐标，在第一个串中的可能位置为纵坐标，在坐标系上建立一个点。

​ 最后要求一个单增函数经过尽可能多的点。树状数组可以快速算出处于 \(y=\alpha\) 这样一条水平线下的最大纵坐标。

​ 还有一个小细节，最朴素去做的话，应该是一个横坐标对应的五个点一起算出来再加入树状数组，因为要求纵坐标严格小于。但是如果纵坐标从上往下枚举，答案就不会相互影响。类似于0/1 背包。

​ 代码内附注释。

CODE

#define fe(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
inline int read()//快读
const int MAXN=1e5+5;
int n,x,bet[MAXN];
vector<int> pos[MAXN];//记录每个数字在第一个串中的位置
inline int lowbit(int x){return x&(-x);}//树状数组部分
inline void add(int x,int y){for(;x<=n;x+=lowbit(x))bet[x]=max(bet[x],y);}
inline int query(int x){return x?max(query(x-lowbit(x)),bet[x]):0;}
int main(){
	n=read()*5;//长度是五倍
	fe(i,1,n)pos[read()].push_back(i);
	fe(i,1,n)for(int j=4,x=read();j>=0;--j)add(pos[x][j],query(pos[x][j]-1)+1);
    //倒序枚举位置，计算的同时更新，-1是因为严格小于，+1是因为计算答案
	printf("%d",query(n));//上界之下的最大值就是答案
	return 0;
}