[洛谷P3802] 小魔女帕琪

[洛谷P3802] 小魔女帕琪

一.前言

​ 这个8元素魔法体系还让机房同学们讨论了一会是东西方修真、魔法体系的区别hhh，最后还丧心病狂地压了行？

题目链接放这里

二.思路

​ 首先数学期望都给你A到脸上来了，考点很明确。按照一般的思路，\(E=\sum p_i*a_i\),以及递推的做法，我们不妨设\(f[i]\) 表示以 i 结尾产生七魔法的期望。

​ 那么很显然的，只有从 \(f[7]\) 开始才有值，这还是欧皇属性，那么可以轻松的算出 \(f[7]\) .首先来一个基本款（注意是+=，这里计算的是概率，出现次数 \(a_i\) 默认1不写，基本的乘法原理,并且有\(n=\sum a_i\))。

\[f[7]+=\frac{a_1}{n}*\frac{a_2}{n-1}*\frac{a_3}{n-2}*\frac{a_4}{n-3}*\frac{a_5}{n-4}*\frac{a_6}{n-5}*\frac{a_7}{n-6} \]

那么很显然的，再举一个基本款

\[f[7]+=\frac{a_2}{n}*\frac{a_1}{n-1}*\frac{a_3}{n-2}*\frac{a_4}{n-3}*\frac{a_5}{n-4}*\frac{a_6}{n-5}*\frac{a_7}{n-6} \]

其实到这里很多人都看的出来了，对于\(f[7]+=p_i\)这样的式子，所有的 \(p_i\) 都是相同的，（毕竟分母分子乘积都不变），不妨令此时的 \(p_i\) 为 \(p\) ,那么其实 p 就是在头七个扔出一个固定顺序的七魔法的概率，那么这样的固定顺序出现次数即为7的排列 7！，所以 \(f[7]=7!*p\).也可以理解为乘法分配率，将乘上的\(a_i=1\)累加为 7！

​ 其实上面说了那么多有点废话的感觉哈，接下来才是重头戏。

​ 我们试图将求出 \(f[7]\) 的做法推广到 \(f[8]\) ,那么很显然的，我们需要先保证 \(2-8\) 位置的七魔法生效，至于1号位上是什么魔法无所谓。由于先选后选对 \(f[8]\) 没有影响，所以先把 \(2-8\) 位置上的选了，再选 1 ，很显然的第一步（选 2-8）的期望=p,那么对于剩下的1号位考虑，则是在 7种魔法中选一种出来为 \(f[8]+=p*\dfrac{a_x-1}{n-7}\)，对于2-8的任意排列，1号位的选择都有7种，所以选出一个排列后，\(f[8]+=p*\sum \dfrac{a_x-1}{n-7}\),后面一项显然为1，即等价于没出现一个新的排列 \(f[8]+=p\) ,排列数有 7! 种，所以 \(f[8]=7!*p=f[7]\)

​ 其实第二部分选择的可以不受魔法种类的约束，换而言之，对于 \(f[i]\) 来说，先选出 i-6~i 这七个魔法，然后第二步选出在剩下的n-7个魔法中选出 i-7 个魔法，即对于第一步的每个排列，有 \(f[i]+=p*\dfrac{n-7}{n-7}*\dfrac{n-8}{n-8}*……\)，由于排列数有7! 个，所以 \(f[i]=p*7!=f[7]\)，

​ 所以

\[\begin{align} ans&=\sum_{i=7}^nf[i]=f[7]*(n-7+1)\\&=7!*p*(n-6)\\&=7!*\frac{a_1}{n}*\frac{a_2}{n-1}*\frac{a_3}{n-2}*\frac{a_4}{n-3}*\frac{a_5}{n-4}*\frac{a_6}{n-5}*\frac{a_7}{n-6}*(n-6)\\&=7!*\frac{a_1}{n}*\frac{a_2}{n-1}*\frac{a_3}{n-2}*\frac{a_4}{n-3}*\frac{a_5}{n-4}*\frac{a_6}{n-5}*a_7 \end{align} \]

求出ans就好了

三.CODE

#include<bits/stdc++.h>
double a[10],ans=7.0*6*5*4*3*2*1,sum;
int main(){
	for(int i=1;i<=7;++i)std::cin>>a[i],sum+=a[i]*1.0;
	for(int i=1;i<=7&&sum+1-i!=0;++i)ans*=1.0*a[i]/(sum+1-i);
	printf("%.3lf",ans*(sum-6));
	return 0;
}