欧拉定理及其证明

欧拉定理及其证明[补档]

一.欧拉定理

背景：首先你要知道什么是欧拉定理以及欧拉函数。

下面给出欧拉定理，对于互质的a,p来说，有如下一条定理

\[a^{\phi(p)}\equiv1(mod\;p) \]

这就是欧拉定理

二.剩余系

定义：对于集合\(\{k*m+a|k\in \mathbb{Z},0<=a<m\}\),我们将它称之为一个模m的同余类记为\(\overline{a}\)

那么很显然的，这样的同余类有m个，他们构成m的完全剩余系。

对于m来说，与m互质的数有\(\phi(m)\)个，那么这\(\phi(m)\)个数所代表的同余类合称为m的简化剩余系。

三.证明欧拉定理

对于数p来说，他有一个简化剩余系，我们记为\(x_1,x_2...x_{\phi(p)}\),对于任意一个\(x_i*a\)因为\(x_i,a\)都与p互质，所以它们的乘积必然在简化剩余系中。

很显然的，对于任意的\(x_i,x_j\)来说

\[a*x_i\not \equiv a*x_j(mod\;p) \]

(毕竟左右两边一个质因子都没有呢)

有了上面的条件，我们可以得出这个结论

\[x_1*a*x_2*a*...x_{\phi(p)}*a为x_1,x_2...x_{\phi(p)}的一个排列 \]

则

\[\because x_1*x_2*...*x_{\phi(p)}\equiv x_1*a*x_2*a*...x_{\phi(p)}*a\\ \therefore 1\equiv a^{\phi(p)} \]

证毕。