威尔逊定理及其证明

威尔逊定理及其证明

零.前言

由于看的人竟然超过了1000个，于是在 2021.1.8 重写此文。

一.什么是威尔逊定理

威尔逊定理是指对于一个质数P来说，有

\[(p-1)！\equiv-1(mod\;p) \]

且对于这个定理成立的数一定是质数，即“p为质数”和威尔逊定理互为充分必要条件。

于是通过这个性质我们可以构造一下质数分布的函数曲线（结合sin函数的性质）

\[f(n)=sin(\pi*((n-1)!+1)/n) \]

当函数值为0时，就可以得出一个质数（是不是很鸡肋）。

由于充分必要条件我们当然也可以用这个来判断质数，不过不好用就对了。

二.证明威尔逊定理

首先我们将等式两边同时除以一个-1（-1必然与p互质），接下来要证明

\[(p-2)！\equiv1(mod\;p) \]

对这个东西完全没有头绪呢~，从形式上观察，考虑一下比较简单的情况。

\[ax\equiv1(mod\;p) \]

这个东西就很简单，当x是a的逆元就好。

​ 再回到威尔逊定理，很显然，对于 \(p=2\) 的时候，威尔逊定理成立。那么除了2以外的质数应该全是奇数，p-2也应该全是奇数才对,观察到问题成为了奇数个数相乘与1同余。

​ 又有1的逆元是1，所以把1踢出去，也就是说剩下的偶数个数的数如果可以两两对应，乘积\(\mod p=1\)威尔逊定理就整出来了。

对于\(a\in[1,p-2]\),一定有 \(a^{-1}\in[1,p-2],a^{-1}\not=a\)（\(x^2\equiv1\)的解有且只有 1 和 p-1)

那么现在只有一个问题了，逆元是不是一一对应呢，答案是当然的,有很多途径可证明（比如定义出发，不定方程，费马小定理等）。

三.一句话证明

逆元的性质决定了一个数和它的逆元一一对应，2~p-2之间必然被\(\frac{p-1}{2}\)个互为逆元的数对完全覆盖，1的逆元是1，故威尔逊定理成立。