线性代数-01

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函数研究的是：输入一个数，经过函数运算之后，产出一个数，

我们需要输入多个数， 经过运算之后，产出 多个数。

线性代数研究的就是：输入一段直线，经过加工之后，产出一段直线。

线性的意思就是：扔进去的是直线，产出的也是直线。

可加性 和 成比例。

输入向量（一段直线） 经过 矩阵处理（内部原理） 输出 向量。

矩阵是如何对输入向量进行加工的。

基向量：描述当前空间的玩意。
一维就只有一个基向量，所形成的空间就是一条直线。有方向。
二维就有俩个基向量， 所形成的空间就是一个平面。
三维就有三个基向量，所形成的空间就是咱的长宽高吧。
更高维的咱就用数学上的来描述。想象不来。

比如向量 a:【1，2】，在基向量i:为【1,0】，j为【0,1】，
在原点固定的情况下就能确认它所形成的位置。
a i j
1 1 0 = 1 * 1 + 1 * 0 = 1
2 0 1 = 2 * 0 + 2 * 1 = 2

不同的基向量生成的坐标是不一样的。

矩阵其实就是加工过程，也就是基向量变换了。 空间改变了。

矩阵 * 向量 = 向量
计算口诀是 左行 乘 右列 。 1 就是 对应在 i基向量上的相加。2 就是对应在 j基向量上的相加。

三维上

输入向量 【a, b, c】
矩阵（新的基向量）
i: 1 0 -2
j: 5 3 1
k: -1 2 4
a在 i 方向 a * i = a * 1 + a * 0 + a * 2 = a2
b在 j 方向 b * j = b * 5 + b * 3 + b * 1 = b2
c在 k 方向 c * k = c * -1 + c * 2 + c * 4 = c2
输出还是一个向量【a2,b2,c2】

行列式是什么

矩阵对向量进行转换加工，行列式能够描述这种加工转换的强弱。

矩阵对向量的加工是通过改变基向量来实现的。 以二维威力，默认的基向量张成的面积为 S = 1

1 0
0 1
在二维就用面积来表示： S = 1 * 1 + 0 * 0 = 1 对角线相乘 相加

新的基向量
2 0
0 2
面积S = 2 * 2 + 0 * 0 = 4 , 面积扩大了 4倍
原来的向量a = [1,1] 进过矩阵变换 为 a2 = [2, 2] 长度从 1 * 1 + 1 * 1 = 2 变为 2 * 2 + 2 * 2 = 8 。也是变为原来的4倍。 所以行列式 可以描述这种强弱。反转等。

单位矩阵

矩阵对向量进行加工产生一个新的向量。 如果一个矩阵对单位向量加工之后，和原来的向量一样，没有任何变换，
这个矩阵就可以叫做单位向量。
其实就是 对角线的 值为1 。其实就是 基向量（咱认为的常规基向量）所组成的矩阵。
二阶单位矩阵
1 0
0 1
三阶单位矩阵
1 0 0
0 1 0
0 0 1
就是计算的时候，【a, b, c】* 单位矩阵 = a 在 基向量i的作用下 a * 1 + a * 0 + a * 0 = a . 相当于没变

逆矩阵

矩阵对向量 有加工作用，在矩阵1 和矩阵2的俩次加工下， 向量又和原来一样
那么矩阵2就是矩阵1 的逆矩阵，逆变换。哈哈
咱又直到 向量 在单位矩阵的加工下和原来的一样。
所以 矩阵 * 逆矩阵 = 单位矩阵。

现在已经不认识矩阵这俩个字了。淦。

• 为什么行列式为0的矩阵没有 逆矩阵。
  如果行列式 为0 ，代表 矩阵在对向量的加工过程中。将向量的空间压缩到了一个更低的维度上。

向量降维后，将无法再还原会原来的样子。

二维平面上的向量压缩在一维的一条直线上。肯定有无数个向量能转成这条直线上的向量。

秩

矩阵可以将一个向量进行加工，变成另外一个向量。

比如一个3阶矩阵。 对所有的三维向量进行加工。
加工之后的向量 都是1维的，都变成了一条直线，那么这个矩阵的秩就是 1.
加工之后的向量 都是2维的，都在一个二维平面上，那么这个矩阵的秩就是 2.
秩描述的就是这个矩阵会不会将输入的向量空间降维，如果没有降维，就是满秩。

特征向量、特征值

对于某一个矩阵，对向量加工，新生成的向量与原来的向量共线，没改变方向。

那么 这个不会被改变方向的向量 叫做这个矩阵的特征向量。

不改变方向，但是大小长度或体积和原来的成比例，这个比例值就是特质值