HDU 2176 取(m堆)石子游戏 (Nim博弈)

取(m堆)石子游戏

Time Limit: 3000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
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Problem Description

m堆石子,两人轮流取.只能在1堆中取.取完者胜.先取者负输出No.先取者胜输出Yes,然后输出怎样取子.例如5堆 5,7,8,9,10先取者胜,先取者第1次取时可以从有8个的那一堆取走7个剩下1个,也可以从有9个的中那一堆取走9个剩下0个,也可以从有10个的中那一堆取走7个剩下3个.

 

 

Input

输入有多组.每组第1行是m,m<=200000. 后面m个非零正整数.m=0退出.

 

 

Output

先取者负输出No.先取者胜输出Yes,然后输出先取者第1次取子的所有方法.如果从有a个石子的堆中取若干个后剩下b个后会胜就输出a b.参看Sample Output.

 

 

Sample Input

2 45 45 3 3 6 9 5 5 7 8 9 10 0

 

 

Sample Output

No

Yes

9 5

Yes

8 1 

9 0

10 3

 

 

Author

Zhousc

 

 

Source

ECJTU 2008 Summer Contest

 

 

通常的Nim游戏的定义是这样的：

有若干堆石子，每堆石子的数量都是有限的，合法的移动是“选择一堆石子并拿走若干颗（不能不拿）”，如果轮到某个人时所有的石子堆都已经被拿空了，则判负（因为他此刻没有任何合法的移动）。

 

结论：

必败状态：a1^a2^......^an=0

必胜状态：a1^a2^.......^an=k (其中k不为零)

 

证明：

terminal position只有一个，就是全0，异或仍然是0。

 

对于某个局面(a1,a2,...,an)，若a1^a2^...^an!=0，一定存在某个合法的移动，将ai改变成ai'后满足a1^a2^...^ai'^...^an=0。不妨设a1^a2^...^an=k，则一定存在某个ai，它的二进制表示在k的最高位上是1（否则k的最高位那个1是怎么得到的）。这时ai^k<ai一定成立。则我们可以将ai改变成ai'=ai^k，此时a1^a2^...^ai'^...^an=a1^a2^...^an^k=0。

 

对于某个局面(a1,a2,...,an)，若a1^a2^...^an=0，一定不存在某个合法的移动，将ai改变成ai'后满足a1^a2^...^ai'^...^an=0。因为异或运算满足消去率，由a1^a2^...^an=a1^a2^...^ai'^...^an可以得到ai=ai'。所以将ai改变成ai'不是一个合法的移动

 

所以在这道题中如果当前是必胜的话，那么就要下一个移动的人必败，所以就要改变一个ai变成ai'使得原本的a1^...ai^...^an!=0变成a1^...ai'...^an=0

可以利用ai^k<ai' 判断

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<stdlib.h>
#include<queue>
#include<stack>
#include<algorithm>
#include<ctype.h>
#define LL __int64
using namespace std;
const int MAXN=200000+50;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const double EPS=1e-9;
int dir4[][2]={{0,1},{1,0},{0,-1},{-1,0}};
int dir8[][2]={{0,1},{1,1},{1,0},{1,-1},{0,-1},{-1,-1},{-1,0},{-1,1}};
int dir_8[][2]={{-2,1},{-1,2},{1,2},{2,1},{2,-1},{1,-2},{-1,-2},{-2,-1}};
int a[MAXN];
int main()
{
    int n;
    while(scanf("%d",&n) && n)
    {
        int sum=0;
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            scanf("%d",&a[i]);
            sum^=a[i];
        }
        if(sum==0) printf("No\n");
        else
        { 
            printf("Yes\n");
            for(int i=0;i<n;i++)
            {
                int s=sum^a[i];
                if(s<a[i])
                    printf("%d %d\n",a[i],s);
            }
        }
    }
    return 0;
}