HDU 2516 取石子游戏 (斐波那契博弈)

取石子游戏

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Problem Description

1堆石子有n个,两人轮流取.先取者第1次可以取任意多个，但不能全部取完.以后每次取的石子数不能超过上次取子数的2倍。取完者胜.先取者负输出"Second win".先取者胜输出"First win".

 

 

Input

输入有多组.每组第1行是2<=n<2^31. n=0退出.

 

 

Output

先取者负输出"Second win". 先取者胜输出"First win". 
参看Sample Output.

 

 

Sample Input

2

13

10000

0

 

 

Sample Output

Second win

Second win

First win

 

 

Source

ECJTU 2008 Autumn Contest

 

 

斐波那契博弈

引用：http://blog.csdn.net/acm_cxlove/article/details/7835016

 

模型：

有一堆个数为 n (n>=2)的石子，游戏双方轮流取石子，满足：
1. 先手不能在第一次把所有的石子取完，至少取一颗；
2. 之后每次可以取的石子数介于1到对手刚取的石子数的2倍之间（包含1和对手刚取的石子数的2倍）。
约定取走最后一个石子的人为赢家，求必败态。

 

这个和之前的Wythoff’s Game 和取石子游戏 有一个很大的不同点，就是游戏规则的动态化。之前的规则中，每次可以取的石子的策略集合是基本固定的，但是这次有规则2：一方每次可以取的石子数依赖于对手刚才取的石子数。

 

结论为：当n为Fibonacci数的时候，必败。

 

必败证明：

1、当i=2时，先手只能取1颗，显然必败，结论成立。

2、假设当i<=k时，结论成立。

则当i=k+1时，f[i] = f[k]+f[k-1]。

则我们可以把这一堆石子看成两堆，简称k堆和k-1堆。

（一定可以看成两堆，因为假如先手第一次取的石子数大于或等于f[k-1]，则后手可以直接取完f[k]，因为f[k] < 2*f[k-1]）

对于k-1堆，由假设可知，不论先手怎样取，后手总能取到最后一颗。下面我们分析一下后手最后取的石子数x的情况。

如果先手第一次取的石子数y>=f[k-1]/3，则这小堆所剩的石子数小于2y，即后手可以直接取完，此时x=f[k-1]-y，则x<=2/3*f[k-1]。

我们来比较一下2/3*f[k-1]与1/2*f[k]的大小。即4*f[k-1]与3*f[k]的大小，由数学归纳法不难得出，后者大。

所以我们得到，x<1/2*f[k]。

即后手取完k-1堆后，先手不能一下取完k堆，所以游戏规则没有改变，则由假设可知，对于k堆，后手仍能取到最后一颗，所以后手必胜。

即i=k+1时，结论依然成立。

 

那么，当n不是Fibonacci数的时候，情况又是怎样的呢？

这里需要借助“Zeckendorf定理”（齐肯多夫定理）：任何正整数可以表示为若干个不连续的Fibonacci数之和。

关于这个定理的证明，感兴趣的同学可以在网上搜索相关资料，这里不再详述。

分解的时候，要取尽量大的Fibonacci数。

比如分解85：85在55和89之间，于是可以写成85=55+30，然后继续分解30,30在21和34之间，所以可以写成30=21+9，

依此类推，最后分解成85=55+21+8+1。

则我们可以把n写成  n = f[a1]+f[a2]+……+f[ap]。（a1>a2>……>ap）

我们令先手先取完f[ap]，即最小的这一堆。由于各个f之间不连续，则a(p-1) > ap  + 1，则有f[a(p-1)] > 2*f[ap]。即后手只能取f[a(p-1)]这一堆，且不能一次取完。

此时后手相当于面临这个子游戏（只有f[a(p-1)]这一堆石子，且后手先取）的必败态，即先手一定可以取到这一堆的最后一颗石子。

同理可知，对于以后的每一堆，先手都可以取到这一堆的最后一颗石子，从而获得游戏的胜利。

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<stdlib.h>
#include<queue>
#include<stack>
#include<algorithm>
#include<ctype.h>
#define LL __int64
using namespace std;
const int MAXN=50+5;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const double EPS=1e-9;
int dir4[][2]={{0,1},{1,0},{0,-1},{-1,0}};
int dir8[][2]={{0,1},{1,1},{1,0},{1,-1},{0,-1},{-1,-1},{-1,0},{-1,1}};
int dir_8[][2]={{-2,1},{-1,2},{1,2},{2,1},{2,-1},{1,-2},{-1,-2},{-2,-1}};
int Fib[MAXN];
void init()
{
    Fib[0]=Fib[1]=1;
    for(int i=2;i<MAXN;i++)
        Fib[i]=Fib[i-1]+Fib[i-2];
}
int main()
{
    init();
    int n;
    while(scanf("%d",&n) && n)
    {
        int i;
        for(i=0;i<MAXN;i++)
            if(Fib[i]==n)
                break;
        if(i<MAXN) printf("Second win\n");
        else printf("First win\n");
    }
    return 0;
}