(转)石子合并问题
本文转自
http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/18039073
石子合并问题是最经典的DP问题。首先它有如下3种题型：
(1)有N堆石子，现要将石子有序的合并成一堆，规定如下：每次只能移动任意的2堆石子合并，合并花费为新合成的一堆石子的数量。求将这N堆石子合并成一堆的总花费最小（或最大）。
分析：当然这种情况是最简单的情况，合并的是任意两堆，直接贪心即可，每次选择最小的两堆合并。本问题实际上就是哈夫曼的变形。
(2)有N堆石子，现要将石子有序的合并成一堆，规定如下：每次只能移动相邻的2堆石子合并，合并花费为新合成的一堆石子的数量。求将这N堆石子合并成一堆的总花费最小（或最大）。
分析：我们熟悉矩阵连乘，知道矩阵连乘也是每次合并相邻的两个矩阵，那么石子合并可以用矩阵连乘的方式来解决。
设dp[i][j]表示第i到第j堆石子合并的最优值，sum[i][j]表示第i到第j堆石子的总数量。那么就有状态转移公式
1 #include <iostream> 2 #include <string.h> 3 #include <stdio.h> 4 5 using namespace std; 6 const int INF = 1 << 30; 7 const int N = 205; 8 9 int dp[N][N]; 10 int sum[N]; 11 int a[N]; 12 13 int getMinval(int a[],int n) 14 { 15 for(int i=0;i<n;i++) 16 dp[i][i] = 0; 17 for(int v=1;v<n;v++) 18 { 19 for(int i=0;i<n-v;i++) 20 { 21 int j = i + v; 22 dp[i][j] = INF; 23 int tmp = sum[j] - (i > 0 ? sum[i-1]:0); 24 for(int k=i;k<j;k++) 25 dp[i][j] = min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j] + tmp); 26 } 27 } 28 return dp[0][n-1]; 29 } 30 31 int main() 32 { 33 int n; 34 while(scanf("%d",&n)!=EOF) 35 { 36 for(int i=0;i<n;i++) 37 scanf("%d",&a[i]); 38 sum[0] = a[0]; 39 for(int i=1;i<n;i++) 40 sum[i] = sum[i-1] + a[i]; 41 printf("%d\n",getMinval(a,n)); 42 } 43 return 0; 44 }
直线取石子问题的平行四边形优化：
1 #include <iostream> 2 #include <string.h> 3 #include <stdio.h> 4 5 using namespace std; 6 const int INF = 1 << 30; 7 const int N = 1005; 8 9 int dp[N][N]; 10 int p[N][N]; 11 int sum[N]; 12 int n; 13 14 int getMinval() 15 { 16 for(int i=1; i<=n; i++) 17 { 18 dp[i][i] = 0; 19 p[i][i] = i; 20 } 21 for(int len=1; len<n; len++) 22 { 23 for(int i=1; i+len<=n; i++) 24 { 25 int end = i+len; 26 int tmp = INF; 27 int k = 0; 28 for(int j=p[i][end-1]; j<=p[i+1][end]; j++) 29 { 30 if(dp[i][j] + dp[j+1][end] + sum[end] - sum[i-1] < tmp) 31 { 32 tmp = dp[i][j] + dp[j+1][end] + sum[end] - sum[i-1]; 33 k = j; 34 } 35 } 36 dp[i][end] = tmp; 37 p[i][end] = k; 38 } 39 } 40 return dp[1][n]; 41 } 42 43 int main() 44 { 45 while(scanf("%d",&n)!=EOF) 46 { 47 sum[0] = 0; 48 for(int i=1; i<=n; i++) 49 { 50 int val; 51 scanf("%d",&val); 52 sum[i] = sum[i-1] + val; 53 } 54 printf("%d\n",getMinval()); 55 } 56 return 0; 57 }
(3)问题(2)的是在石子排列是直线情况下的解法，如果把石子改为环形排列，又怎么做呢？
分析：状态转移方程为：
其中有：
1 #include <iostream> 2 #include <string.h> 3 #include <stdio.h> 4 5 using namespace std; 6 const int INF = 1 << 30; 7 const int N = 205; 8 9 int mins[N][N]; 10 int maxs[N][N]; 11 int sum[N],a[N]; 12 int minval,maxval; 13 int n; 14 15 int getsum(int i,int j) 16 { 17 if(i+j >= n) return getsum(i,n-i-1) + getsum(0,(i+j)%n); 18 else return sum[i+j] - (i>0 ? sum[i-1]:0); 19 } 20 21 void Work(int a[],int n) 22 { 23 for(int i=0;i<n;i++) 24 mins[i][0] = maxs[i][0] = 0; 25 for(int j=1;j<n;j++) 26 { 27 for(int i=0;i<n;i++) 28 { 29 mins[i][j] = INF; 30 maxs[i][j] = 0; 31 for(int k=0;k<j;k++) 32 { 33 mins[i][j] = min(mins[i][j],mins[i][k] + mins[(i+k+1)%n][j-k-1] + getsum(i,j)); 34 maxs[i][j] = max(maxs[i][j],maxs[i][k] + maxs[(i+k+1)%n][j-k-1] + getsum(i,j)); 35 } 36 } 37 } 38 minval = mins[0][n-1]; 39 maxval = maxs[0][n-1]; 40 for(int i=0;i<n;i++) 41 { 42 minval = min(minval,mins[i][n-1]); 43 maxval = max(maxval,maxs[i][n-1]); 44 } 45 } 46 47 int main() 48 { 49 while(scanf("%d",&n)!=EOF) 50 { 51 for(int i=0;i<n;i++) 52 scanf("%d",&a[i]); 53 sum[0] = a[0]; 54 for(int i=1;i<n;i++) 55 sum[i] = sum[i-1] + a[i]; 56 Work(a,n); 57 printf("%d %d\n",minval,maxval); 58 } 59 return 0; 60 }
可以看出，上面的(2)(3)问题的时间复杂度都是O(n^3)，由于过程满足平行四边形法则，故可以进一步优化到O(n^2)。
