约瑟夫环

#include <iostream>
using namespace std;

struct Node
{
    Node *next;
    int data;
};

void createCircle(Node* &L,int n,int k)
{
    int i = 0;
    
    Node*p = L;
    p ->data = k;
    
    while(i<n-1)
    {
        Node *q = new Node;
        i++;
        if(i+k == n)
            q->data = n;
        else
            q ->data = (i+k)%n;
        p ->next = q;
        p = p->next;
    }
    p->next = L;
}

void JosephusProblem(Node* &L,int n,int k,int m)
{
    cout<<"The sequence of dequeue queue is:"<<endl;
    createCircle(L, n, k);
    Node *p = L;
    while (n--)
    {
        int count = 1;
        
        while (count<m-1)
        {
            p = p->next;
            count++;
        }
        
        Node* q= p->next;
        cout<<q->data<<" ";
        p->next = q->next;
        p = p->next;
        free(q);
    }
    cout<<endl;
    cout<<"Winner: "<<p->data<<endl;
}

int main()
{
    Node* L = new Node;
    
    JosephusProblem(L,6,1,3);
    return 0;
}

  思想：归纳为数学性问题。原文说的很好，还是直接Copy吧，因为搜索半天也没有找到原作者，所以无法添加引用地址了，如果这位大哥看到这里，请告知与我，小弟立刻加入引用链接:)

无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm)，当n，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。

为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：
问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:
  k  k+1  k+2  ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换：

k     --> 0
k+1   --> 1
k+2   --> 2
...
...
k-2   --> n-2
k-1   --> n-1
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x'=(x+k)%n

如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：

令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]

递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i;  (i>1)

有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1
由于是逐级递推，不需要保存每个f[i]，程序也是异常简单：

void solve(int n, int m)
{
    int s = 0;
    for (int i = 2; i <= n; i++)
    {
        s = (s + m) % i;
    }
    cout << s+1 <<endl;
}