#include <iostream> using namespace std; struct Node { Node *next; int data; }; void createCircle(Node* &L,int n,int k) { int i = 0; Node*p = L; p ->data = k; while(i<n-1) { Node *q = new Node; i++; if(i+k == n) q->data = n; else q ->data = (i+k)%n; p ->next = q; p = p->next; } p->next = L; } void JosephusProblem(Node* &L,int n,int k,int m) { cout<<"The sequence of dequeue queue is:"<<endl; createCircle(L, n, k); Node *p = L; while (n--) { int count = 1; while (count<m-1) { p = p->next; count++; } Node* q= p->next; cout<<q->data<<" "; p->next = q->next; p = p->next; free(q); } cout<<endl; cout<<"Winner: "<<p->data<<endl; } int main() { Node* L = new Node; JosephusProblem(L,6,1,3); return 0; }
思想:归纳为数学性问题。原文说的很好,还是直接Copy吧,因为搜索半天也没有找到原作者,所以无法添加引用地址了,如果这位大哥看到这里,请告知与我,小弟立刻加入引用链接:)
无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点:要模拟整个游戏过程,不仅程序写起来比较烦,而且时间复杂度高达O(nm),当n,m非常大(例如上百万,上千万)的时候,几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号,而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率,就要打破常规,实施一点数学策略。
为了讨论方便,先把问题稍微改变一下,并不影响原意:
问题描述:n个人(编号0~(n-1)),从0开始报数,报到(m-1)的退出,剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。
我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后,剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环(以编号为k=m%n的人开始):
k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换:
k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
...
...
k-2 --> n-2
k-1 --> n-1
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题,假如我们知道这个子问题的解:例如x是最终的胜利者,那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗?!!变回去的公式很简单,相信大家都可以推出来:x'=(x+k)%n
如何知道(n-1)个人报数的问题的解?对,只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢?当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题!好了,思路出来了,下面写递推公式:
令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号,最后的结果自然是f[n]
递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)
有了这个公式,我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值,最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始,我们输出f[n]+1
由于是逐级递推,不需要保存每个f[i],程序也是异常简单:
void solve(int n, int m) { int s = 0; for (int i = 2; i <= n; i++) { s = (s + m) % i; } cout << s+1 <<endl; }