Google总部有三座以无理数命名的大楼，一座是圆周率π，一座是黄金分割数Φ，还有一座就是本文的主角：自然对数的底e。
从计算机编码谈起e
众所周知，在计算机领域的编码，都是采用的2进制0和1进行编码，事实上这并不是最优的编码方案。下面我给出简单证明：
假设计算机有S个状态，用N进制去表示，那么就有S/N位，则可以存储的信息设为I:
对方程两边取对数得
为了使得存储的信息 I 最大 ，那么根据In函数的单调性，即求In I的最大值。函数右边对N求导得
可以看出N = e是函数的极值点，也是最值点。也就是说，当N取e的时候，存储的信息最大。所以e才是计算机编码的最佳进制。为什么当时没有采用e进制而采用了2进制，这应该有几个方面的原因。首先e是无理数，不管是在早期的机械计算机还是现代的电子计算机，都无法“确切”地表示这个数。而2<e<3，那么这两个整数为什么选取了2而不是3，直观的感觉就是2更加方便，0表示“非”、“关”，1表示“是”、“开”更加有效。
为什么是e
达尔文的进化论告诉我们：物竞天择。从众多的数中选择e也是自然的选择。从对数函数求导的过程中看看为什么要用e作为对数的底。对于对数函数求导
做变换
在极限中又两个重要的公式，其中之一
所以我们得到
经过换底公式变化，最终得到
如果不用e作为底，而是选择另外一个数，比如
这样的表示方法远比以e为底数的表示方法复杂。从上面的过程中，发现只用用e为底，结果才会简洁，而用其他数作为底，形式就会复杂。所以选择自然对数作为底，是优美的选择。如果非要用其他数作为底，也是可行的，但是在自然看来，这非常丑陋。这就是数学的美。当然，e并不是仅仅是自然的选择，在物理学，化学，生物学和医学中都有着极其重要的影响。而在数学中，e更是常客，从微积分到几何到概率论。无处不见e的身影。
e与素数
素数有多少？这是数论中最基本的问题。从欧几里得时代以来，众多数学家都投入到了素数的研究中。天才数学家高斯通过直觉发现寻找素数的一个重要依据：
假设用π(x)表示不大于x的素数的个数，比如 π(5) = 3 {2,3,5} ， π(10) = 4 {2,3,5,7} 。那么问题转化为π(x)的公式，高斯认为
π(x)和函数
是同阶的无穷小，这就是素数的渐进分布定律。让大多数人匪夷所思的是， 这里怎么莫名其妙就冒出个e来。天才的思维凡人是没法理解的，但这仅仅是高斯看了素数表之后猜测出来的。
事实上高斯猜测完全正确，后来俄国数学家切比雪夫（就是概率论中经常出现那个人）对素数进行两年的研究，得出了素数定理（素数分布定理/素数分布中心定律）
根据素数定理可以得出第n个素数
在寻找素数方面还有一个人给出了一个重要的证明，那就是黎曼函数。(由于黎曼的证明很复杂，此处不展开 )。欧几里得猜想素数的个数数无穷多个，这个猜想经有人证明是正确的，但是“素数出现的概率却为0”。即
这个公式成为“素数概率悖论”：“无穷多个素数出现的概率为0” — 也就是说，所有的素数占自然数总数的比例几乎为0.这个看似是悖论，素数的个数是无穷的，自然数的个数也是无穷的，但是素数的个数是比自然数个数高阶的无穷小。我们学过概率论，知道概率为0的事件为“不可能事件”，概率为1的事件为“必然事件”。但是通过素数概率悖论可以看出，“概率为0的事件不一定为‘不可能事件’ ”，那么“概率为1的事件不一定是‘必然事件’ ”。e与数学世界有着千丝万缕的联系，这里只是初步讨论了e在数论中的重要地位。
无穷级数与欧拉公式 ：e与sinx , cosx , i, π
在微积分中，无穷级数是一个非常重要的计算和证明思路。我们知道sin x 和 cos x都可以展开成无穷级数：
①
②
又因为
③
虚数i的平方等于-1
④
根据①②③④可以得到欧拉公式
将x换为-x得到
多么神奇的e，将级数，三角函数，虚数联系在一起。更神奇的是
上式就称为欧拉恒等式。多么简洁的公式啊，但是这其中蕴含的知识却是丰富多彩。e，自然对数的底；π，圆周率；i，纯虚数；1，最小的正整数；0，自然数的起源。不得不赞叹数学家们，几千年来，那些研究的结果一点点结晶，让人类文明得以快速发展，为什么许多数学家也喜欢神学/哲学，是因为这些公式实在是太美了。而现在知识精华却被我们轻易获取，我们应该为所处的时代感到幸运。
当然e的出场率远远没有本文涉及的这么小，随手拿起手边的数学教材，你都可以找到e的身影。它是大自然的选择，更是数学家们十几个世纪研究的成果！
参考文献：
1. 《解码三大数学常数-e的密码》，陈仁政著，科学出版社，2011
2. 《世界著名数学家传纪》 ， 吴文俊，科学出版社， 1995
3. 《数学分析简明教程》 ，邓东皋; 尹小玲，高等教育出版社，2006
4. 《数论基础》，维诺格拉多夫，哈尔滨工业大学出版社，2011
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