【LeetCode】面试题16. 数值的整数次方
题目:
思路:
1、最简单直观的方法就是循环相乘，但是会超时
2、快速幂(二进制角度)
对于任意十进制n，设其二进制为\(b_m\)...\(b_2b_1\)，则有
- \(n=1b_1 + 2b_2 + ... + 2^{m-1}b_m\)
- \(x^n = x^{1b_1 + 2b_2 + ... + 2^{m-1}b_m} = x^{1b_1}x^{2b_2}...x^{2^{m-1}b_m}\)
根据上面的推导，可以把\(x^n\)的计算，转化为
- 计算\(x^1, x^2, ..., x^{2^{m-1}}\)的值，循环赋值即可\(x=x^2\)
- 获取二进制各位\(b_1, b_2, ..., b_m\)的值，循环执行与操作、移位操作即可
3、快速幂(递归二分)
4、快速幂(非递归二分)
非递归形式同二进制形式原理相同，以\(x^{77}=x\cdot x^4 \cdot x^8 \cdot x^{64}\)为例，x一直在累积平方，遇到奇数则将当前的x乘到结果上。
\( \begin{aligned} x^{77} =&\ (x^2)^{38}\ \ \ \ * \ \ \ \ x \ \ \ \ \ \ \ \ 1 \\ (x^2)^{38} =&\ (x^4)^{19}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \\ (x^4)^{19} =&\ (x^8)^9\ \ \ \ \ * \ \ \ \ x^4 \ \ \ \ \ \ \ 0 \\ (x^8)^9 =&\ (x^{16})^4\ \ \ \ * \ \ \ \ x^8 \ \ \ \ \ \ 1 \\ (x^{16})^4 =&\ (x^{32})^2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \\ (x^{32})^2 =&\ (x^{64})^1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \\ (x^{64})^1 =&\ (x^{128})^0\ \ \ * \ \ \ \ x^{64}\ \ \ \ 1 \end{aligned} \)
代码:
Python
class Solution(object):
def myPow(self, x, n):
"""
:type x: float
:type n: int
:rtype: float
"""
# 暴力循环求解 291/304 超时
# t = abs(n)
# result = 1.0
# while t:
# result *= x
# t -= 1
# if n < 0:
# return 1.0 / result
# else:
# return result
# # 快速幂(二进制)
# t = abs(n)
# result = 1.0
# while t:
# if t & 1:
# result *= x
# x *= x
# t >>= 1
# if n < 0:
# return 1.0 / result
# else:
# return result
# # 快速幂(递归二分)
# if n == 0:
# return 1.0
# if n < 0:
# return 1.0 / self.myPow(x, -n)
# if n & 1:
# return x * self.myPow(x, n-1)
# return self.myPow(x * x, n // 2)
# 快速幂(非递归二分, 同二进制思想一致)
result = 1.0
t = abs(n)
while t:
if t % 2:
result *= x
x *= x
t //= 2
if n < 0:
return 1.0 / result
else:
return result
