2024-01-21 11:32阅读: 8评论: 0推荐: 0

（坚持每天写算法）算法复习与学习part1基础算法part1-11——差分

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　　差分和前缀和是有联系的。

　　首先给定一个原数组a：a[1], a[2], a[3],,,,,, a[n];

　　然后我们构造一个数组b ： b[1] ,b[2] , b[3],,,,,, b[i];

　　使得 a[i] = b[1] + b[2 ]+ b[3] +,,,,,, + b[i]

　　也就是说，a数组是b数组的前缀和数组，反过来我们把b数组叫做a数组的差分数组。换句话说，每一个a[i]都是b数组中从头开始的一段区间和。

　　这种b数组是需要自己构造的，而构造b数组的方法最简单直接的是：

　　a[0 ]= 0;

　　b[1] = a[1] - a[0];

　　b[2] = a[2] - a[1];

　　b[3] =a [3] - a[2];

　　........

　　b[n] = a[n] - a[n-1];

　　差分可以应用的问题：

　　给定区间[l ,r ]，让我们把a数组中的[ l, r]区间中的每一个数都加上c,即 a[l] + c , a[l+1] + c , a[l+2] + c ,,,,,, a[r] + c;

　　使用差分，我们可以这么做：

　　首先让差分b数组中的 b[l] + c ,a数组变成 a[l] + c ,a[l+1] + c,,,,,, a[n] + c;

　　然后我们打个补丁，b[r+1] - c, a数组变成 a[r+1] - c,a[r+2] - c,,,,,,,a[n] - c;

　　这样子就可以得到上述问题的求解。

　　这个是题解：

　　这里是代码：

//差分 时间复杂度 o(m)
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int a[N], b[N];
int main()
{
    int n, m;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        scanf("%d", &a[i]);
        b[i] = a[i] - a[i - 1];      //构建差分数组
    }
    int l, r, c;
    while (m--)
    {
        scanf("%d%d%d", &l, &r, &c);
        b[l] += c;     //将序列中[l, r]之间的每个数都加上c
        b[r + 1] -= c;
    }
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        a[i] = b[i] + a[i - 1];    //前缀和运算
        printf("%d ", a[i]);
    }
    return 0;
}

　　补充：前缀和和差分的题目，可以在写的时候直接浮现图解就可以确定下标。

　　其实差分不止是这一种，因为前缀和都有两种，一维和二维。

　　二维的差分数组，也是同一个道理，a[i][j] = b[1][1] + ……+b[i][j]，a数组是b数组的前缀和数组。

　　在二维中，某一段区间用下面的图来表示的话就是以(x1,y1)为左端点，(x2,y2)为右端点的矩形。

　　二维利用差分想让某一段区间的a都加上某一个值，有点难说，建议画一个表示b数组的图还有一个表示a数组的图，还有一个表示这里是图解：

　　b[x1][ y1 ] +=c ; 对应图1 ,让整个a数组中蓝色矩形面积的元素都加上了c。
　　b[x1,][y2+1]-=c ; 对应图2 ,让整个a数组中绿色矩形面积的元素再减去c，使其内元素不发生改变。
　　b[x2+1][y1]- =c ; 对应图3 ,让整个a数组中紫色矩形面积的元素再减去c，使其内元素不发生改变。
　　b[x2+1][y2+1]+=c; 对应图4,,让整个a数组中红色矩形面积的元素再加上c，红色内的相当于被减了两次，再加上一次c，才能使其恢复。

　　（注意，x是行，y是列，不要看成函数了，要不然解不出来）

　　（还有的就是，是b[x2+1][y1]而不是b[x2][y1]，因为如果选择了后者边界这些a数组是不会加c，而事实上a[x2][y2]也是边界上的。）

　　这个是代码；

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m , q;
int a[N][N] , b[N][N];

void insert(int x1 , int y1 , int x2 , int y2 , int c){
    b[x1][y1] += c;
    b[x1][y2 + 1] -= c;
    b[x2 + 1][y1] -= c;
    b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
    
}
int  main(){
    cin>>n>>m>>q;
    
    for(int i = 1 ; i <= n ; i ++){
        for(int j = 1 ; j <= m; j ++){
            cin>>a[i][j];
        }
    }
    
    for(int i = 1 ; i <= n ; i ++){
        for(int j = 1 ; j <= m ; j ++){
            insert(i,j,i,j,a[i][j]);
        }
    }
    
    while(q --){
        int x1,y1,x2,y2,c;
        cin >>x1 >>y1>>x2>>y2>>c;
        insert(x1,y1,x2,y2,c);
    }
    
    for(int i = 1 ; i <= n ; i ++){
        for(int j = 1 ; j <= m ; j ++){
            b[i][j] += b[i-1][j] + b[i][j-1] - b[i-1][j-1];//其实这里是求a，b的前缀和是a
        }
    }
    
    for(int i = 1 ; i <= n ; i ++){
        for(int j = 1 ; j <= m ; j++){
            printf("%d " , b[i][j]);
        }
        puts(" ");//发现要空行系统才能识别
    }
    
}