正交概念

编程中，经常出现正交这个词。正交指相互独立，不可替代，并且组合起来可实现其它功能。

为什么相互独立，会使用正交这个词呢？

正交，最开始是数学术语，被引到计算机领域。正交英文是 orthogonal，本意是垂直，几何概念。线性代数中，两向量正交指它们内积为 0。而函数正交，是指两个函数相乘的积分为 0。

但就算知道这些，还是不明白正交是什么，数学上的正交概念跟编程上的正交概念有什么关系呢？

原则

无论什么领域，表象都是无穷无尽的，会出现各种情形。假如出现情形 A, 就单独去研究情形 A；出现情形 B, 就单独去研究情形 B，各种情形分别去解决，根本就没有尽头。

人们不会单纯研究表象，而是不断简化，最终产生几条最基本的原理，和一套基本原理的组合法则。这几条原理相互独立，不可再进行简化。假如 C 原理可以用 A、B 原理组合起来表示，这样 C 原理就不是最基本的。

于是知道基本原理和组合规则，其它表象就可以归结成基本原理和基本组合法则的重复推演。这样只要研究好基本原理，研究好组合规则，其它的表象可以一大批统一地解决了。

 

向量正交

相同的思路，应用到向量。

所有的向量构成一个空间，而所有的向量是无穷无尽的。一个个向量分别分析也自然没有尽头。这样我们挑选几个相互独立的基本向量，再定义一套组合规则。这样其它的向量，就用基本向量组合起来表示。

于是很自然地产生问题，基本向量是什么？如何才叫相互独立？组合规则是什么？

对于向量空间，组合规则其实就是线性叠加。乘法和加法很基本，不同的领域常常会重新定义类似乘法的概念和类似加法的概念。在线性叠加中，类似乘法的概念，就是向量的内积，当内积为 0 表示两个向量相互独立。

假设 A、B 为基本向量，C 可以用 A、B 叠加起来表示。于是

C = a * A + b * B

两边乘以 B，得到

C * B = a * A * B + b * B * B

这里的乘法符号其实是内积，假如 A * B = 0，就可以消去第一项，系数 b 就只和 C 和 B 有关。而当 B * B = 1 时，可以再次简化计算过程。

当将二维向量几何化后，内积为 0，两个向量刚好正交（orthogonal）。另外一个术语就是平行，跟正交对应。平行表示完全相关，正交表示完全不相关，有时会处于平行是正交之间，它们的夹角可以表示相关程度。

当 A * B = 0 ，A、B 正交；B * B = 1，B 标准化，也叫归一化。当正交归一的向量，作为独立的基本向量，线性叠加成其它向量。会使得计算过程大大简化。

函数正交

将相同的思路，应用到函数。

所有函数构成函数空间，取一些基本的、正交的函数，再定义组合规则。每个具体领域，加法和乘法的含义有所不同。对于函数，类似于乘法的概念是积分。两函数的正交，就是相乘后积分为 0。当 f(x)、t(x) 作为基本函数，这样 k(x) 用两个函数叠加的方式来表示。

k(x) = a f(x) + b t(x)

这时需要求出系数 a 和 b 的。可以两边先乘以 f(x), 得出，

k(x) * f(x) = a f(x) * f(x) + b t(x) * f(x)

当 f(x) 和 t(x) 正交，两边取积分，就可以消去，t(x) * f(x)。这样系数 a 就只会跟 k(x) 和 f(x) 有关系。

还可以有多个函数相互正交，甚至无限多个函数正交。比如选取 cos、sin，作为基本函数，叠加起来表示其它函数，就演变成了傅里叶变换。

编程上的正交

从数学上引进正交这个词，用于表示指相互独立，相互间不可替代，并且可以组合起来实现其它功能。比如 if 和 for 语句是正交的，但 for 和 while 语句的功能是有重叠的。逻辑运算 not、and、or 也是正交的，其它复杂的逻辑运算都可以用这三种基本运算叠加起来。

编程语言经常定义一组正交语法特性，相互间不可替代，组合起来可以其它功能。而为了更方便使用，在基础特性之上，再添加一些额外特性。这些非基本的额外特性，称为语法糖（Syntactic sugar）。语法糖对语言的功能没有太大影响，有可以，没有也可以，但有了之后，代码写起来更方便些。