差分数组理解及题目

1.定义：

对于已知有n个元素的离线数列d，我们可以建立记录它每项与前一项差值的差分数组f：显然，f[1]=d[1]-0=d[1];对于整数i∈[2,n]，我们让f[i]=d[i]-d[i-1]。

2.简单性质：

(1)计算数列各项的值：观察d[2]=f[1]+f[2]=d[1]+d[2]-d[1]=d[2]可知，数列第i项的值是可以用差分数组的前i项的和计算的，即d[i]=f[i]的前缀和。
(2)计算数列每一项的前缀和：第i项的前缀和即为数列前i项的和，那么推导可知

即可用差分数组求出数列前缀和；

3.用途：

(1)快速处理区间加减操作：

假如现在对数列中区间[L,R]上的数加上x，我们通过性质(1)知道，第一个受影响的差分数组中的元素为f[L],即令f[L]+=x，那么后面数列元素在计算过程中都会加上x；最后一个受影响的差分数组中的元素为f[R],所以令f[R+1]-=x，即可保证不会影响到R以后数列元素的计算。这样我们不必对区间内每一个数进行处理，只需处理两个差分后的数即可；

(2)询问区间和问题：

由性质(2)我们可以计算出数列各项的前缀和数组sum各项的值；那么显然，区间[L,R]的和即为ans=sum[R]-sum[L-1];

 

注意：差分数组适用于离线的区间修改问题，如果是在线的话应该用线段树或其他数据结构。

注意：离线区间修改是指，将所有修改操作全部读入，然后一起处理。 而在线是指，每读入一个修改操作，就执行一次修改。

 

题目

1.[HDU1556]Color the ball

Description

-N个气球排成一排，从左到右依次编号为1,2,3....N.每次给定2个整数a b(a <= b),lele便为骑上他的“小飞鸽"牌电动车从气球a开始到气球b依次给每个气球涂一次颜色。但是N次以后lele已经忘记了第I个气球已经涂过几次颜色了，你能帮他算出每个气球被涂过几次颜色吗？
-Input：每个测试实例第一行为一个整数N,(N <= 100000).接下来的N行，每行包括2个整数a b(1 <= a <= b <= N)。当N = 0，输入结束。
-Output：每个测试实例输出一行，包括N个整数，第I个数代表第I个气球总共被涂色的次数。

Solution

1.记录各次操作，对差分数组进行对应修改,改变量为1(用途1)；
2.使用性质(1)计算各项的值即可；

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std; 
int d[100010],a[100010],l,r;
int main(){
	int n;
	while(scanf("%d",&n),n)
	{
		memset(d,0,sizeof(d));
		memset(a,0,sizeof(a));
		for(int i=1;i<=n;++i){
			scanf("%d%d",&l,&r);
			d[l]+=1;
			d[r+1]-=1;
		}
		for(int i=1;i<=n;++i) a[i]=a[i-1]+d[i];
		for(int i=1;i<n;++i) printf("%d ",a[i]);
		printf("%d\n",a[n]);
	}
	return 0;
}

　　2.牛客“科大讯飞杯”第十七届同济大学程序设计预选赛暨高校网络友谊赛F题

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 2e5 + 5;
ll b[maxn];
ll a[maxn];
int main(){
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int l,r;
    for(int i = 1;i <= m;i++){
        scanf("%d%d",&l,&r);
        b[l]++;
        b[r+1]--;
    }
    for(int i = 1;i <= n;i++)
        a[i] = a[i - 1] + b[i];
    sort(a + 1,a + 1 + n);
    ll ans = 0;
    for(int i = n;i > 0;i--) {
        ans += i * a[i];
        if(a[i] == 0) {
            break;
        }
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}