错排公式及其化简

错排，意思就是原来有一个n个元素的排列，现在要打乱它们的顺序，使每个元素都不在原来的位置，一共有多少种可能。

错排具体解析看上一个博客   现在给出其公式 D(n)=n-1*(D(n-2)+D(n-1));

  

 设D(n)=n!*N(n)，则有：D(n-2) = (n-2)!*N(n-2)，D(n-1) = (n-1)!*N(n-1)；即；

n!*N(n)=(n-1)*(n-2)!*N(n-2)+(n-1)*(n-1)!*N(n-1)  = (n-1)!*N(n-2)+(n-1)*(n-1)!*N(n-1)，两边同时除以(n-1)!，可得：n*N(n)=N(n-2)+(n-1)*N(n-1) ，然后，乘进去移项化简，N(n)-N(n-1)=(N(n-2)-N(n-1))/n = -(1/n)(N(n-1)-N(n-2)) ，所以N(n-1)-N(n-2)= -(1/(n-1))(N(n-2)-N(n-3))，将右边的(N(n-2)-N(n-3)除到左边，然后你会得到一个公比为负一的等比数列....  ,然后你会发现下面会用到高中学的知识，就是求数列前n项和方法之一（具体名字叫啥我忘了。。。不会的去翻高中课本吧...），最终N(n)=(1/2!-1/3!+1/4!- ··· ··· +((-1)^(n-1))/(n-1)!+((-1)^n)/n! ) ，即D(n)=n!*(1/2!-1/3!+1/4!- 1/5!+ ··· ··· +((-1)^(n-1))/(n-1)!+((-1)^n)/n! )。