基础数论 模运算与逆元

模运算与逆元：#

取模定义：#

$$amodn\{\begin{array}{l}a-\lfloor \frac{a}{n}\rfloor \times na\ge 0\\ -(-amodn)a<0\end{array}$$

　

取模基本性质：#

设 $a_0=amodn,b_0=bmodn$

• $(a+b)modn=((amodn)+(bmodn))modn$

​ $a+b\equiv a_0+b_0(modn)$

• $(a\times b)modn=((amodn)\times (bmodn))modn$

  $a\times b\equiv a_0\times b_0(modn)$

• 对于任意正整数 $k$ ，有 $amodn=(amodkn)modn$

• 若 $k\mid a$​，有 $\frac{a}{k}modn=\frac{amodkn}{k}$

设 $\frac{a}{k}=x$ ，

$$x-\lfloor \frac{x}{n}\rfloor \times n=\frac{xk-\lfloor \frac{xk}{kn}\rfloor \times kn}{k}$$

　

同余：#

若整数 $a,b$ 除以正整数 $m$ 的余数相等，则称 $a,b$ 模 $m$ 同余，记为 $a\equiv b(modm)$

逆元：#

设 $a$ 为整数，$n$ 为正整数，若整数 $b$ 满足，$ab\equiv 1(modn)$，则称 $b$ 为 $a$ 模 $n$​ 的逆元。

• 当且仅当 $gcd(a,n)=1$ 时， $a$ 模 $n$ 的逆元存在。
• 如果 $b_1,b_2$ 为 $a$ 模 $n$ 的逆元，则必有 $b_1\equiv b_2(modn)$ ，即 $a$ 模 $n$ 的逆元在模 $n$ 意义下唯一。

由于 $a$ 的逆元唯一，可记为 $a^{-1}$ 或 $\frac{1}{n}$ 。可以定义 $\frac{1}{a}modn$为 $a$ 模 $n$ 的逆元中绝对值最小的数，并取与 $a$​ 相同的符号。

　

费马小定理：#

对于质数 $p$ 和任意整数 $a$ ，若 $\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{d}(a,p)=1$ ，则 $a^p\equiv a(modp)$

设有数列 $S=\{1,2,3,\cdots ,p-1\}，Smodp=S$

则 $S\times a=a,2a,3a,\cdots ,(p-1)a$

$\therefore (S\times amodp=(Smodp\times amodp)modp$​ $(\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{d}(a,p)=1)$

$\therefore$ 上式$=S\times (amodp)$ 而 $\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{d}(p,amodp)=1$

$\therefore \prod _{i=1}^{p-1}i\equiv \prod _{i=1}^{p-1}a\times i(modp)$

$\therefore (p-1)!\equiv a^{p-1}\times (p-1)!(modp)$

$\therefore 1\equiv a^{p-1}(modp)$
$\therefore a\equiv a^p(modp)$

　

求逆元：

若 $p$ 为质数，且 $gcd(a,p)=1$ ,则 $a^{-1}\equiv a^{p-2}(modp)$ 。 计算时间复杂度 $O(\log p)$ 。

$a^{p-1}\equiv 1(modp)$

$\therefore a\times a^{p-2}\equiv 1(modp)$

$\therefore a^{-1}\equiv a^{p-2}(modp)$

　

线性求逆元：#

代码

	inv[1] = 1;
	for(int i=2; i<=n; ++i) 
		inv[i] = ((-1LL*(p/i) % p ) * inv[p%i] % p + p ) % p;

$\because pmodi=p-\lfloor \frac{p}{i}\rfloor \times i$

$\therefore p=\lfloor \frac{p}{i}\rfloor \times i+(pmodi)$

$\therefore 0\equiv \lfloor \frac{p}{i}\rfloor \times i+(pmodi)(modp)$

$\therefore -(pmodi)\equiv \frac{p}{i}\times i(modp)$

$\therefore -\frac{\lfloor \frac{p}{i}\rfloor \times i}{pmodi}\equiv 1(modp)$

$\therefore \frac{1}{i}\equiv -\frac{\lfloor \frac{p}{i}\rfloor }{pmodi}$

　

求阶乘逆元：#

代码

	inv[max1]=ksm(jie[max1],mod-2);//根据费马小定理求逆元
	for(int i=max1-1;i>=1;i--){//逆元递推
		inv[i]=cheng(inv[i+1],i+1);
	}

对于已知的 $(n+1)!$ 的逆元,只需将其乘上 $n+1$ 即可得到 $n!$ 的逆元。
即 $\frac{1}{(n+1)!}\times (n+1)=\frac{1}{n!}$

by ysx