gcd与exgcd

证明辗转相除法#

即证明 $gcd(a,b)=gcd(b,amodb)$
我们规定 $a\ge b$
设 $d$ 是 $a,b$ 的公约数 $a=x_{1}d,b=x_{2}d$
$amodb=(x_{1}mod{x}_2)d$
所以 $\mathrm{\forall }d|a\mathrm{且}d|b,d|(amodb)$
同理可证，对于$\mathrm{\forall }d|b\mathrm{且}d|(amodb),d|a$
所以 $\{x|x\mathrm{是}a,b\mathrm{的}\mathrm{公}\mathrm{约}\mathrm{数}\}=\{x|x\mathrm{是}b,amodb\mathrm{的}\mathrm{公}\mathrm{约}\mathrm{数}\}$
因此他们的最大公约数相同
by lyk