算法04---贪心算法

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概述

在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择。也就是说，不从整体最优上加以考虑，他所做出的仅是在某种意义上的局部最优解。

　　贪心算法不是对所有问题都能得到整体最优解，选择的贪心策略必须具备无后效性，即某个状态以后的过程不会影响以前的状态，只与当前状态有关。

适用前提：局部最优策略能导致产生全局最优解

　　贪心算法作为五大算法之一，在数据结构中的应用十分广泛。

　　例如：在求最小生成树的 Prim 算法中，挑选的顶点是候选边中权值最小的边的一个端点。

　　在 Kruskal 算法中，每次选取权值最小的边加入集合。在构造霍夫曼树的过程中也是每次选择最小权值的节点构造二叉树。这种每次在执行子问题的求解时，总是选择当前最优的情形，恰好符合贪心的含义。

解题思路

　　（1）建立数学模型来描述问题。
（2）把求解的问题分成若干个子问题。
（3）对每一子问题求解，得到子问题的局部最优解。
（4）把子问题的局部最优解合成原来问题的一个解。

1 /// 伪代码
2 
3 从问题的某一初始解出发
4     while (能朝给定总目标前进一步) 
5         do
6             选择当前最优解作为可行解的一个解元素；
7     由所有解元素组合成问题的一个可行解。

应用场景

问题：

　　小明手中有 1，5，10，50，100 五种面额的纸币，每种纸币对应张数分别为 5，2，2，3，5 张。若小明需要支付 456 元，则需要多少张纸币？

问题分解：

（1）建立数学模型
设小明每次选择纸币面额为 Xi ，需要的纸币张数为 n 张，剩余待支付金额为 V ，则有：X1 + X2 + … + Xn = 456.
（2）问题拆分为子问题
小明选择纸币进行支付的过程，可以划分为n个子问题：即每个子问题对应为：在未超过456的前提下，在剩余的纸币中选择一张纸币。

（3）制定贪心策略，求解子问题

制定的贪心策略为：在允许的条件下选择面额最大的纸币。则整个求解过程如下：

选取面值为 100 的纸币，则 X1 = 100, V = 456 - 100 = 356；
继续选取面值为 100 的纸币，则 X2 = 100, V = 356 - 100 = 256；
继续选取面值为 100 的纸币，则 X3 = 100, V = 256 - 100 = 156；
继续选取面值为 100 的纸币，则 X4 = 100, V = 156 - 100 = 56；
选取面值为 50 的纸币，则 X5 = 50, V = 56 - 50 = 6；
选取面值为 5 的纸币，则 X6 = 5, V = 6 - 5 = 1；
选取面值为 1 的纸币，则 X7 = 1, V = 1 - 1 = 0；求解结束

（4）将所有解元素合并为原问题的解

小明需要支付的纸币张数为 7 张，其中面值 100 元的 4 张，50 元 1 张，5 元 1 张，1 元 1 张。

代码示例

 1 const int N = 5; 
 2 int Count[N] = {5,2,2,3,5};          //每一张纸币的数量 
 3 int Value[N] = {1,5,10,50,100};   // 对应的面值排列
 4 
 5 int solve(int money) {
 6     int num = 0;
 7     for (int i = N - 1; i >= 0; i--) {                  // 先从最大面值匹配
 8         int c = Math.min( money / Value[i], Count[i]);  //每一个对应面值可选取的最大张数 
 9         money = money - c * Value[i];
10         num += c;                                        // 已选中张数更新
11     }
12     if(money > 0) num = -1;   // 如果仍有钱未兑换完成，则报错
13     return num;
14 }