由于水平原因，博客大部分内容摘抄于网络，如有错误或者侵权请指出，本人将尽快修改

最短路径之迪杰斯特拉算法

参考：

《啊哈！算法》p.155

https://www.cnblogs.com/dailinfu/p/7398112.html

该算法用于解决一个点到其余各顶点的最短路径

先来一张图，求1点到6点的最短路径

先用一个二维数组用于存储这张图

还有一个一维数组存储1点到各点的距离

我们将此时dis数组中的值称为最短路程的“估计值”。

既然是求1号顶点到其余各个顶点的最短路程，那就先找一个离1号顶点最近的顶点。通过数组dis可知当前离1号顶点最近的是2号顶点。当选择了2号顶点后，dis[2]的值就已经从“估计值”变为了“确定值”，即1号顶点到2号顶点的最短路程就是当前dis[2]值。为什么呢?你想啊，目前离1号顶点最近的是2号顶点，并且这个图所有的边都是正数，那么肯定不可能通过第三个顶点中转，使得1号顶点到2号顶点的路程进一步缩短了。 因为1号顶点到其他顶点的路程肯定没有1号到2号顶点短，对吧O(∩_∩)O~

既然选了2号顶点，接下来再来看2号顶点有哪些出边呢。有2→3和2→4这两条边。先讨论通过2→3这条边能否让1号顶点到3号顶点的路程变短，也就是说现在来比较dis[3]和dis[2]+e[2][3]的大小。其中dis[3]表示1号顶点到3号顶点的路程; dis[2]+e[2][3]中 dis[2]表示1号顶点到2号顶点的路程，e[2][3]表示2→3这条边。所以

dis[2]+e[2][3]就表示从1号顶点先到2号顶点，再通过2→3这条边，到达3号顶点的路程。

我们发现dis[3]=12, dis[2]+e[2][3]=1+9=10, dis[3]>dis[2]+e[2][3], 因此dis[3]要更新为10。这个过程有个专业术语叫做“松弛”，1 号顶点到3号顶点的路程即dis[3]，通过2→3这条边松弛成功。这便是Dijkstra算法的主要思想:通过“边”来松弛1号顶点到其余各个顶点的路程。

同理，通过2→4 (e[2][4])， 可以将dis[4]的值从∞松弛为4 (dis[4]初始为∞,dis[2]+e[2][4]=1+3=4, dis[4]>dis[2]+e[2][4], 因此dis[4]要更新为4)。

刚才我们对2号顶点所有的出边进行了松弛。松弛完毕之后dis数组为:

接下来，继续在剩下的3、4、5和6号顶点中，选出离1号顶点最近的顶点。通过上面更新过的dis数组，当前离1号顶点最近的是4号顶点。此时，dis[4]的值已经从“估计值”变为了“确定值”。 下面继续对4号顶点的所有出边(4-->3，4-->5和4-->6)用刚才的方法进行松弛。松弛完毕之后dis数组为:

继续在剩下的3、5和6号顶点中，选出离1 号顶点最近的顶点，这次选择3号顶点。此时，dis[3]的值已经从 “估计值”变为了“确定值”。对3号顶点的所有出边(3-->5)进行松弛。松弛完毕之后dis数组为:

继续在剩下的5和6号顶点中，选出离1号顶点最近的顶点，这次选择5号顶点。此时，dis[5]的值已经从“估计值”变为了“确定值”。对5号顶点的所有出边(5-->4)进行松弛。松弛完毕之后dis 数组为:

最后对6号顶点的所有出边进行松弛。因为这个例子中6号顶点没有出边，因此不用处理。到此，dis 数组中所有的值都已经从“估计值”变为了“确定值”。
最终dis数组如下，这便是1号顶点到其余各个顶点的最短路径。 

 

OK，现在来总结一下刚才的算法。算法的基本思想是:每次找到离源点(. 上面例子的源点就是1号顶点)最近的一个顶点，然后以该顶点为中心进行扩展，最终得到源点到其余所有点的最短路径。基本步骤如下:

1.将所有的顶点分为两部分:已知最短路程的顶点集合P和未知最短路径的顶点集合Q。最开始，已知最短路径的顶点集合P中只有源点一个顶点。我们这里用一个book数组来记录哪些点在集合P中。例如对于某个顶点i,如果book[i]为1则表示这个顶点在集合P中，如果book[i]为0则表示这个顶点在集合Q中。

2.设置源点s到自己的最短路径为0即dis[s]=0。若存在有源点能直接到达的顶点i,则把dis[i]设为e[s][i]。同时把所有其他(源点不能直接到达的)顶点的最短路径设为∞。

3. 在集合Q的所有顶点中选择一个离源点s最近的顶点u (即dis[u]最小) 加入到集合P。并考察所有以点u为起点的边，对每一条边进行松弛操作。例如存在一条从u到v的边，那么可以通过将边u→v添加到尾部来拓展一条从s到v的路径，这条路径的长度是dis[u]+e[u][v]。 如果这个值比目前已知的dis[v]的值要小，我们可以用新值来替代当前dis[v]中的值。

4. 重复第3步，如果集合Q为空，算法结束。最终dis数组中的值就是源点到所有顶点的最短路径。

贴出完整算法

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/*Dijkstra算法，即单源最短路径算法：通过边实现松弛*/
#include<stdio.h>
 
int main()
 {
   int i,j,n,m,u,v,t1,t2,t3,min;
   int dis[10];
   int e[10][10];
   int book[10];
   int inf=99999999;
 
   scanf("%d %d",&n,&m);
 
   for(i=1;i<=n;i++)
    for(j=1;j<=n;j++)
        if(i==j) e[i][j]=0;
        else e[i][j]=inf;
 
  for(i=1;i<=m;i++)
   {
    scanf("%d %d %d",&t1,&t2,&t3);
    e[t1][t2]=t3;
   }
 
  //初始化dis数组，1号到各个顶点的初始路程
  for(i=1;i<=n;i++)
    dis[i]=e[1][i];
 
  for(i=1;i<=n;i++)
    book[i]=0;
  book[1]=1;
 
  //Dijkstra核心算法
    for(i=1;i<=n-1;i++)
     {
       //找到离1号顶点最近的顶点
       min=inf;
       for(j=1;j<=n;j++)
         {
           if(book[j]==0 && dis[j]<min)
             {
              min=dis[j];
              u=j;
              }
          }
        book[u]=1; //这一步漏了，一定要记住走过的顶点一定要标记
        for(v=1;v<=n;v++)
        {
          if(e[u][v]<inf) //自己做的时候，还少了以这一步 是否应该改成if(book[v]==0 && e[u][v]<inf)
           {
            if(dis[v]>dis[u]+e[u][v])
             dis[v]=dis[u]+e[u][v];
           }
        }
     }
   for(i=1;i<=n;i++)
     printf("%5d",dis[i]);
 
   getchar();getchar();
   return 0;
 }
/*
input:
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1 3 12
2 3 9
2 4 3
3 5 5
4 3 4
4 5 13
4 6 15
5 6 4
output:
    0    1    8    4   13   17
 * /

vector 邻接表版本

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#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#define N 11000
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
 
int n,m,a,b,c,vis[N],dis[N];
 
struct node
{
    int d,w;
};//定义一个结构体来存储每个入度点以及对应边的权值
//比如边u->v,权值为w,node结构体存储的就是v以及w。
 
vector<node>v[N];
 
void dijkstra(int u);
 
int main()
{
    //对于N非常大但是M很小的这种稀疏图来说，用邻接矩阵N*N是存不下的。邻接矩阵是将所有的点都存储下来了，然而
    //对于稀疏图来说，有很多点是没有用到的，把这些点也存储下来的话就会很浪费空间。可以用邻接表来存储，这里借助vector来实现邻接表的操作。
    //用邻接表存储时候，只存储有用的点，对于没有用的点不存储，实现空间的优化。
    cin>>n>>m;
 
    for(int i=0; i<=n; i++)
        v[i].clear();//将vecort数组清空
    for(int i=1; i<=m; i++) //用vector存储邻接表
    {
        node nd;
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
        nd.d=b,nd.w=c;//将入度的点和权值赋值给结构体
        v[a].push_back(nd);//将每一个从a出发能直接到达的点都压到下标为a的vector数组中，以后遍历从a能到达的点就可以直接遍历v[a]
        //        nd.d=a,nd.w=c;//无向图的双向存边
        //        v[b].push_back(nd);
    }
    dijkstra(1);
    if(dis[n]!=INF)
        printf("%d\n",dis[n]);
    else
        printf("-1");
    return 0;
}
 
void dijkstra(int u)
{
    //初始位置从顶点1开始。
    memset(vis,0,sizeof(vis));//初始化标记数组
    for(int i=0; i<=n; i++)
        dis[i]=INF;//先将dis初始化为无穷大，下面更新dis的初始值。
    dis[u]=0;
    //初始化dis数组，1号到各个顶点的初始路程
    for(int i=0;i<v[u].size();i++)
        dis[v[u][i].d]=min(v[u][i].w,dis[v[u][i].d]);//可能存在重边和自环
 
    for(int i=1;i<=n-1;i++)
    {
        //找到离1号顶点最近的顶点
        int minn=INF;
        int k=0;
        for(int j=1;j<=n;j++)
            if(vis[j]==0&&dis[j]<minn)//f[j]==0，未添加的点
                minn=dis[j],k=j;
 
        vis[k]=1;
        if(k==0)break;
        for(int p=0;p<v[k].size();p++)//v[k].size 个点与k相连
        {
            if(v[k][p].w+dis[k]<dis[v[k][p].d])//比较
                dis[v[k][p].d]=v[k][p].w+dis[k];
        }
    }
}　

但是这个算法的时间复杂度是0（N^2）.我希望他的时间复杂度降为0（（M+N）logN）

使用邻接矩阵实现的Djjkstra算法的复杂度是O(V^2)。使用邻接表的话，更新最短距离只需要访问每条边一次即可，因此这部分的复杂度是O(E)。但是每次要枚举所有的顶点来查找下一个使用的顶点，因此最终复杂度还是0(V)。在E比较小时，大部分的时间花在了查找下一个使用的顶点上，因此需要使用合适的数据结构对其进行优化。

需要优化的是数值的插入(更新)和取出最小值两个操作，因此使用堆就可以了。把每个顶点当前的最短距离用堆维护，在更新最短距离时，把对应的元素往根的方向移动以满足堆的性质。而每次从堆中取出的最小值就是下一次要使用的顶点。这样堆中元素共有O(V)个，更新和取出数值的操作有O(E)次，因此整个算法的复杂度是 O(ElogV)。

下面是使用STL的priority_ queue ”的实现。在每次更新时往堆里插人当前最短距离和顶点的值对。插人的次数是O(E)次，因此元素也是0(E)个。当取出的最小值不是最短距离的话，就丢弃这个值。这样整个算法也可以在同样的复杂度内完成。

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#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<queue>
#define N 100005
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;
 
int n,m,a,b,c,dis[N];
typedef pair<int,int> P;
struct node
{
    int d,w;
};//定义一个结构体来存储每个入度点以及对应边的权值
//比如边u->v,权值为w,node结构体存储的就是v以及w。
 
vector<node>G[N];
 
void dijkstra(int u);
 
int main()
{
    //对于N非常大但是M很小的这种稀疏图来说，用邻接矩阵N*N是存不下的。邻接矩阵是将所有的点都存储下来了，然而
    //对于稀疏图来说，有很多点是没有用到的，把这些点也存储下来的话就会很浪费空间。可以用邻接表来存储，这里借助vector来实现邻接表的操作。
    //用邻接表存储时候，只存储有用的点，对于没有用的点不存储，实现空间的优化。
    cin>>n>>m;
 
    for(int i=0; i<=n; i++)
        G[i].clear();//将vecort数组清空
    for(int i=1; i<=m; i++) //用vector存储邻接表
    {
        node nd;
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
        nd.d=b,nd.w=c;//将入度的点和权值赋值给结构体
        G[a].push_back(nd);//将每一个从a出发能直接到达的点都压到下标为a的vector数组中，以后遍历从a能到达的点就可以直接遍历v[a]
        //        nd.d=a,nd.w=c;//无向图的双向存边
        //        v[b].push_back(nd);
    }
    dijkstra(1);
    if(dis[n]!=INF)
        printf("%d\n",dis[n]);
    else
        printf("-1");
    return 0;
}
 
void dijkstra(int u)
{
    priority_queue<P, vector<P>, greater<P> > que;
    for(int i=0; i<=n; i++)
        dis[i]=INF;//先将dis初始化为无穷大，下面更新dis的初始值。
    dis[u]=0;
    que.push(make_pair(0,u));
    while (!que.empty()) {
        P p=que.top();
        que.pop();
        int v=p.second;
        if(dis[v]!=p.first) continue;
        for (int i = 0; i < G[v].size(); ++i) {
            node e=G[v].at(i);
            if(dis[e.d]>dis[v]+e.w){
                dis[e.d]=dis[v]+e.w;
                que.push(make_pair(dis[e.d],e.d));
            }
        }
    }
 
}

　　

java版本解法：

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package 最短路径;
 
import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.PriorityQueue;
import java.util.Scanner;
 
public class Main {
    static class Edge{
        int to;
        int cost;
    }
    static class P implements Comparable<P>{
        int dis;
        int index;
         
        public P(int dis, int index) {
            this.dis = dis;
            this.index = index;
        }
 
        @Override
        public int compareTo(P o) {
              return this.dis>o.dis?1:-1;
        }
    }
    static int MAX_V=100000;
    static int MAX_E=200000;
    static int INF=10000;
    static ArrayList<Edge> G[]=new ArrayList[MAX_V];
    static int V;
    static int E;
    static int S;
    static int d[]=new int[MAX_V];
    public static void main(String[] args) {
        for (int i = 0; i < MAX_V; i++) {
            G[i]=new ArrayList<Edge>();
        }
        Scanner sc=new Scanner(System.in);
        V=sc.nextInt();
        E=sc.nextInt();
        S=sc.nextInt();
        S--;
        for (int i=0; i<E; i++)
        {
            int s=sc.nextInt();
            int t=sc.nextInt();
            int c=sc.nextInt();
            Edge e=new Edge();
            e.to=t-1;e.cost=c;
            G[s-1].add(e);
        }
         dijkstra(S);
        for (int i=0; i<V; i++)
            if (d[i]!=INF) System.out.printf("%d ", d[i]);
            else System.out.printf("%d ", 2147483647);
         
    }
     
    static void dijkstra(int s)
    {
        Arrays.fill(d,INF);
       d[s]=0;
       PriorityQueue<P> que=new PriorityQueue<>();//默认小根堆
        
       que.add(new P(0,s));
        while (!que.isEmpty())
        {
            P p=que.poll();
            int v=p.index;
            if (d[v]<p.dis) continue;
            for (int i=0; i<G[v].size(); i++)
            {
                Edge e=G[v].get(i);
                if (d[e.to]>d[v]+e.cost)
                {
                    d[e.to]=d[v]+e.cost;
                    que.add(new P(d[e.to], e.to));
                }
            }
        }
    }
 
}

 

4 5

1 4 9
4 3 8
1 2 5
2 4 6
1 3 7

第一行两个整数n,m分别代表点的个数，路线的数量。

接下来的五行x,y,z.代表点x到点y的距离z。

 

存储的结构是这样的。就像hashmap

 

 

再用一个first数组来存储每个顶点其中一条边的编号。以便待会我们来枚举每个顶点所有的边（你可能会问：存储其中一条边的编号就可以了？不可能吧，每个顶点都需要存储其所有边的编号才行吧！甭着急，继续往下看）。比如1号顶点有一条边是 “1 4 9”（该条边的编号是1），那么就将first[1]的值设为1。如果某个顶点i没有以该顶点为起始点的边，则将first[i]的值设为-1。现在我们来看看具体如何操作，初始状态如下。

 

咦？上图中怎么多了一个next数组，有什么作用呢？不着急，待会再解释，现在先读入第一条边“1 4 9”。

读入第1条边（1 4 9），将这条边的信息存储到u[1]、v[1]和w[1]中。同时为这条边赋予一个编号，因为这条边是最先读入的，存储在u、v和w数组下标为1的单元格中，因此编号就是1。这条边的起始点是1号顶点，因此将first[1]的值设为1。

另外这条“编号为1的边”是以1号顶点（即u[1]）为起始点的第一条边，所以要将next[1]的值设为-1。也就是说，如果当前这条“编号为i的边”，是我们发现的以u[i]为起始点的第一条边，就将next[i]的值设为-1（貌似的这个next数组很神秘啊⊙_⊙）。

 

读入第2条边（4 3 8），将这条边的信息存储到u[2]、v[2]和w[2]中，这条边的编号为2。这条边的起始顶点是4号顶点，因此将first[4]的值设为2。另外这条“编号为2的边”是我们发现以4号顶点为起始点的第一条边，所以将next[2]的值设为-1。

 

 

读入第3条边（1 2 5），将这条边的信息存储到u[3]、v[3]和w[3]中，这条边的编号为3，起始顶点是1号顶点。我们发现1号顶点已经有一条“编号为1 的边”了，如果此时将first[1]的值设为3，那“编号为1的边”岂不是就丢失了？我有办法，此时只需将next[3]的值设为1即可。现在你知道next数组是用来做什么的吧。next[i]存储的是“编号为i的边”的“前一条边”的编号。

 

读入第4条边（2 4 6），将这条边的信息存储到u[4]、v[4]和w[4]中，这条边的编号为4，起始顶点是2号顶点，因此将first[2]的值设为4。另外这条“编号为4的边”是我们发现以2号顶点为起始点的第一条边，所以将next[4]的值设为-1。

 

读入第5条边（1 3 7），将这条边的信息存储到u[5]、v[5]和w[5]中，这条边的编号为5，起始顶点又是1号顶点。此时需要将first[1]的值设为5，并将next[5]的值改为3。

 

接下来如何遍历每一条边呢? 我们之前说过其实first 数组存储的就是每个顶点i (i从1~n) 的第一条边。比如1号顶点的第一条边是编号为5的边(1 3 7), 2号顶点的第一条边是编号为4的边(2 4 6), 3号顶点没有出向边, 4号顶点的第一条边是编号为2的边(2 4 6)。那么如何遍历1号顶点的每一条边呢?也很简单。请看下图:

 

核心代码

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int n,m,i;
//u、v和w的数组大小要根据实际情况来设置，要比m的最大值要大1
int u[6],v[6],w[6];
//first和next的数组大小要根据实际情况来设置，要比n的最大值要大1
int first[5],next[5];
scanf("%d %d",&n,&m);
//初始化first数组下标1~n的值为-1，表示1~n顶点暂时都没有边
for(i=1;i<=n;i++)
    first[i]=-1;
for(i=1;i<=m;i++)
{
    scanf("%d %d %d",&u[i],&v[i],&w[i]);//读入每一条边
    //下面两句是关键啦
    next[i]=first[u[i]];
    first[u[i]]=i;
}

　　

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