【BZOJ2395】【Balkan 2011】Timeismoney 最小乘积生成树

链接：

#include <stdio.h>
int main()
{
    puts("转载请注明出处[辗转山河弋流歌 by 空灰冰魂]谢谢");
    puts("网址：blog.csdn.net/vmurder/article/details/46828379");
}

题解：

裸最小乘积生成树。

最小乘积生成树定义：

有一张n个点m条边的无向图，每条边有k个权值。

如今要取一个边集M使得其将全部点连通。并使
∏ki=1(∑j∈Mjcost(j,vali)) 最小
即个边集的每一种边权的总和的乘积最小。

比方：
k=1时，就是裸最小生成树。
k=2时。就是要使 [边集的权值1的和]*[边集的权值2的和] 最小。

最小乘积生成树的一种求法：

广义上的说法（不是必需看，或者看完以下的再来看这个就好）

首先我们能够把每种生成树想成一个k维的点，第i维的坐标即那一维上权值的和。

然后我们能够先求出每一维坐标最小的一棵生成树（裸上最小生成树就好）。
然后得到一个k-1维的面，然后我们来求一下离这个面最远的点，然后分治下去……据说期望非常快……

二维最小乘积生成树的求法：

给每一棵生成树都定义两个权值X、Y，当中X为其包括的全部边的权值x的和，Y为其包括的全部边的权值y的和，那么我们能够把每一种生成树看成一个坐标。

我们先求出坐标x最小的一棵生成树。再求出坐标y最小的一棵生成树。
然后我们能够考虑。最优的点一定在下凸包上【证明一】，然后我们要进行一个不断向左下拓展点的过程：对于两个点A、B形成的直线，我们能够找出在这条直线左下的最远的点C。然后对AC、CB递归做相同的过程，直到找不到一个在左下的点C为止。

然后怎样找一个最远的点C呢？
我们能够发现既然有一条边固定，那么最好还是把“最远”转化成三角形面积最大。这个用叉积搞一搞，，然后会推出公式面积跟点C有关的部分= 常数A∗x+常数B∗y ，，那么我们把全部边的权值 x 乘上 A ，权值 y 乘上 B 就好了，，，A、B 是啥自己求去！

【题外】：三维的，就是离一个平面最远。转化成体积最大。递归分成三层而非两层，。。，。然后四维，甚至更高维，感觉应该是同理的吧？

关于上文中【证明一】

每一个点（xi,yi） 都相应一条函数曲线 ki=xi∗yi，而随意两不同 ki ，它们的函数曲线是不交的（有交的话则存在一点 (xj,yj) 使得 ki=xj∗yj=kj而ki!=kj 成立，显然这是悖论），那么显然最长处肯定不会在凸包内，否则必有凸包上一点比它优。

那么会不会求出这个某种意义上的凸包后，最长处在凸包外，却没被找到呢？
不会。
若有这样的情况。此点必定在凸包上某边的左下方。。然后一定会被找出来。。

代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define N 205
#define M 10100
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
struct Eli
{
    int u,v,a,b,c;
    void read()
    {
        scanf("%d%d%d%d",&u,&v,&a,&b);
        u++,v++;
    }
}e[M];
inline bool cmpa(const Eli &a,const Eli &b){return a.a<b.a;}
inline bool cmpb(const Eli &a,const Eli &b){return a.b<b.b;}
inline bool cmpc(const Eli &a,const Eli &b){return a.c<b.c;}
struct Point
{
    int x,y;
    void print(){printf("%d %d\n",x,y);}
    Point(int _x=0,int _y=0):x(_x),y(_y){}
    bool operator < (const Point &A)const
    {
        unsigned int p=  x;p*=  y;
        unsigned int q=A.x;q*=A.y;
        return p==q?
x<A.x:p<q;
    }
}ans,now,mina,minb;
int f[N],n,m;
int find(int x){return f[x]==x?x:f[x]=find(f[x]);}
Point Kruscal()
{
    int i,fa,fb;
    now=Point(0,0);
    for(i=1;i<=n;i++)f[i]=i;
    for(i=1;i<=m;i++)
    {
        fa=find(e[i].u),fb=find(e[i].v);
        if(fa!=fb)
        {
            f[fb]=fa;
            now.x+=e[i].a;
            now.y+=e[i].b;
        }
    }
    if(now<ans)ans=now;
    return now;
}
inline int xmul(const Point &A,const Point &B,const Point &C)
{return (C.y-A.y)*(B.x-A.x)-(C.x-A.x)*(B.y-A.y);}
void work(const Point &A,const Point &B)
{
    for(int i=1;i<=m;i++)
        e[i].c=e[i].b*(A.x-B.x)+e[i].a*(B.y-A.y);
    sort(e+1,e+m+1,cmpc);
    Point C=Kruscal();
    if(xmul(A,B,C)<=0)return ;
    work(A,C),work(C,B);
}
int main()
{
//  freopen("test.in","r",stdin);

    int i,j,k;
    int a,b,c;
    ans=Point(inf,inf);

    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(i=1;i<=m;i++)e[i].read();
    sort(e+1,e+m+1,cmpa),mina=Kruscal();
    sort(e+1,e+m+1,cmpb),minb=Kruscal();
    work(minb,mina),ans.print();

    fclose(stdin);
    fclose(stdout);
    return 0;
}