前缀、中缀、后缀表达式
前缀、中缀、后缀表达式
1.定义
所谓的前、中、后，是指表达式中运算符相对于运算对象的位置。
中缀
运算符位于运算对象中间，即是中缀表达式。如(1+2)*3-4
最普遍的、最易被人脑理解的是中缀表达式。
前缀
运算符位于运算对象之前。即是前缀表达式。
如-*+1234
后缀
运算符位于运算对象之后，即是后缀表达式。如12+3*4-
2.总结
- 前缀、后缀不易被人脑理解，但易于被计算机解析。
- 仅仅有对中缀表达式进行合理的转换。才可得到对应的前、后缀表达式。
3.
3.1 中缀转前缀
过程例如以下：
(1) 初始化两个栈：运算符栈S1和储存中间结果的栈S2；
(2) 从右至左扫描中缀表达式。
(3) 遇到操作数时，将其压入S2。
(4) 遇到运算符时。比較其与S1栈顶运算符的优先级：
(4-1) 假设S1为空。或栈顶运算符为右括号“)”。则直接将此运算符入栈。
(4-2) 否则。若优先级比栈顶运算符的较高或相等，也将运算符压入S1。
(4-3) 否则，将S1栈顶的运算符弹出并压入到S2中。再次转到(4-1)与S1中新的栈顶运算符相比較；
(5) 遇到括号时：
(5-1) 假设是右括号“)”。则直接压入S1；
(5-2) 假设是左括号“(”，则依次弹出S1栈顶的运算符。并压入S2，直到遇到右括号为止，此时将这一对括号丢弃；
(6) 反复步骤(2)至(5)，直到表达式的最左边；
(7) 将S1中剩余的运算符依次弹出并压入S2；
(8) 依次弹出S2中的元素并输出，结果即为中缀表达式对应的前缀表达式。
(2) 从右至左扫描中缀表达式。
(3) 遇到操作数时，将其压入S2。
(4) 遇到运算符时。比較其与S1栈顶运算符的优先级：
(4-1) 假设S1为空。或栈顶运算符为右括号“)”。则直接将此运算符入栈。
(4-2) 否则。若优先级比栈顶运算符的较高或相等，也将运算符压入S1。
(4-3) 否则，将S1栈顶的运算符弹出并压入到S2中。再次转到(4-1)与S1中新的栈顶运算符相比較；
(5) 遇到括号时：
(5-1) 假设是右括号“)”。则直接压入S1；
(5-2) 假设是左括号“(”，则依次弹出S1栈顶的运算符。并压入S2，直到遇到右括号为止，此时将这一对括号丢弃；
(6) 反复步骤(2)至(5)，直到表达式的最左边；
(7) 将S1中剩余的运算符依次弹出并压入S2；
(8) 依次弹出S2中的元素并输出，结果即为中缀表达式对应的前缀表达式。
3.2 对前缀进行解析
所谓的解析。也就是求解表达式。
解析方法：
从右至左扫描表达式。遇到数字时。将数字压入堆栈，遇到运算符时，弹出栈顶的两个数，用运算符对它们做对应的计算（栈顶元素 op 次顶元素）。并将结果入栈；反复上述过程直到表达式最左端，最后运算得出的值即为表达式的结果。
比如前缀表达式“-*+1234”：
(1) 从右至左扫描，将4、3、2、1依次压入堆栈；
(2) 遇到+运算符，因此弹出1和2（1为栈顶元素，2为次顶元素，注意与后缀表达式做比較），计算出1+2的值，得3。再将3入栈；
(3) 接下来是*运算符，因此弹出3和3，计算出3*3=9，将9入栈；
(4) 最后是-运算符。计算出9-4的值。即5。由此得出终于结果。
比如前缀表达式“-*+1234”：
(1) 从右至左扫描，将4、3、2、1依次压入堆栈；
(2) 遇到+运算符，因此弹出1和2（1为栈顶元素，2为次顶元素，注意与后缀表达式做比較），计算出1+2的值，得3。再将3入栈；
(3) 接下来是*运算符，因此弹出3和3，计算出3*3=9，将9入栈；
(4) 最后是-运算符。计算出9-4的值。即5。由此得出终于结果。
3.3 中缀转后缀
过程例如以下：
(1) 初始化两个栈：运算符栈S1和储存中间结果的栈S2；
(2) 从左至右扫描中缀表达式；
(3) 遇到操作数时。将其压入S2；
(4) 遇到运算符时，比較其与S1栈顶运算符的优先级：
(4-1) 假设S1为空，或栈顶运算符为左括号“(”，则直接将此运算符入栈；
(4-2) 否则，若优先级比栈顶运算符的高，也将运算符压入S1（注意转换为前缀表达式时是优先级较高或同样。而这里则不包含同样的情况）；
(4-3) 否则，将S1栈顶的运算符弹出并压入到S2中，再次转到(4-1)与S1中新的栈顶运算符相比較；
(5) 遇到括号时：
(5-1) 假设是左括号“(”，则直接压入S1；
(5-2) 假设是右括号“)”，则依次弹出S1栈顶的运算符，并压入S2，直到遇到左括号为止，此时将这一对括号丢弃；
(6) 反复步骤(2)至(5)，直到表达式的最右边；
(7) 将S1中剩余的运算符依次弹出并压入S2；
(8) 依次弹出S2中的元素并输出。结果的逆序即为中缀表达式对应的后缀表达式（转换为前缀表达式时不用逆序）。
(2) 从左至右扫描中缀表达式；
(3) 遇到操作数时。将其压入S2；
(4) 遇到运算符时，比較其与S1栈顶运算符的优先级：
(4-1) 假设S1为空，或栈顶运算符为左括号“(”，则直接将此运算符入栈；
(4-2) 否则，若优先级比栈顶运算符的高，也将运算符压入S1（注意转换为前缀表达式时是优先级较高或同样。而这里则不包含同样的情况）；
(4-3) 否则，将S1栈顶的运算符弹出并压入到S2中，再次转到(4-1)与S1中新的栈顶运算符相比較；
(5) 遇到括号时：
(5-1) 假设是左括号“(”，则直接压入S1；
(5-2) 假设是右括号“)”，则依次弹出S1栈顶的运算符，并压入S2，直到遇到左括号为止，此时将这一对括号丢弃；
(6) 反复步骤(2)至(5)，直到表达式的最右边；
(7) 将S1中剩余的运算符依次弹出并压入S2；
(8) 依次弹出S2中的元素并输出。结果的逆序即为中缀表达式对应的后缀表达式（转换为前缀表达式时不用逆序）。
3.4 对后缀进行解析
与前缀表达式相似。仅仅是顺序是从左至右：
从左至右扫描表达式，遇到数字时，将数字压入堆栈，遇到运算符时。弹出栈顶的两个数，用运算符对它们做对应的计算（次顶元素 op 栈顶元素）。并将结果入栈；反复上述过程直到表达式最右端，最后运算得出的值即为表达式的结果。
比如后缀表达式“12+3*4-”：
(1) 从左至右扫描，将1和2压入堆栈；
(2) 遇到+运算符。因此弹出2和1（2为栈顶元素，1为次顶元素。注意与前缀表达式做比較），计算出1+2的值，得3，再将3入栈；
(3) 将3入栈；
(4) 接下来是*运算符。因此弹出3和3，计算出3*3=9，将9入栈；
(5) 将4入栈。
(6) 最后是-运算符，计算出9-4的值，即5。由此得出终于结果。
从左至右扫描表达式，遇到数字时，将数字压入堆栈，遇到运算符时。弹出栈顶的两个数，用运算符对它们做对应的计算（次顶元素 op 栈顶元素）。并将结果入栈；反复上述过程直到表达式最右端，最后运算得出的值即为表达式的结果。
比如后缀表达式“12+3*4-”：
(1) 从左至右扫描，将1和2压入堆栈；
(2) 遇到+运算符。因此弹出2和1（2为栈顶元素，1为次顶元素。注意与前缀表达式做比較），计算出1+2的值，得3，再将3入栈；
(3) 将3入栈；
(4) 接下来是*运算符。因此弹出3和3，计算出3*3=9，将9入栈；
(5) 将4入栈。
(6) 最后是-运算符，计算出9-4的值，即5。由此得出终于结果。
4.代码：
#include <iostream>
#include <stack>
using namespace std;
double evaluate(double n1, char c, double n2)
{
switch (c)
{
case '+': return n1 + n2;
case '-': return n1 - n2;
case '*': return n1 * n2;
case '/': return n1 / n2;
}
}
int main(void)
{
//解析前缀
char expr1[] = "-*+1234";
stack<double> sta;
int i = strlen(expr1) - 1;
int num1, num2;
char c;
do
{
c = expr1[i];
if (isdigit(c)) sta.push(c - '0');
else
{
num1 = sta.top();
sta.pop();
num2 = sta.top();
sta.pop();
sta.push(evaluate(num1, c, num2));
}
i--;
} while (i > -1);
cout << sta.top() << endl;
sta.pop();
//解析后缀
char expr2[] = "12+3*4-";
int n = strlen(expr2);
i = 0;
do
{
c = expr2[i];
if (isdigit(c)) sta.push(c - '0');
else
{
num1 = sta.top();
sta.pop();
num2 = sta.top();
sta.pop();
sta.push(evaluate(num2, c, num1));
}
i++;
} while (i < n);
cout << sta.top() << endl;
return 0;
}
char ops[] = "+-*/";
int get_op(char c)
{
for (int i = 0; i < 4; i++)
if (c == ops[i]) return i;
return -1;
}
/*
+ - * /
+ 0 0 -1 -1
- 0 0 -1 -1
* 1 1 0 0
/ 1 1 0 0
*/
int priority[4][4]=
{
{ 0, 0, -1, -1 },
{ 0, 0, -1, -1 },
{ 1, 1, 0, 0 },
{ 1, 1, 0, 0 }
};
int main(void)
{
//中缀转前缀
char expr[] = "1+((2+3)*4)-5";
stack<char> s1, s2;
int i, n;
char c;
i = strlen(expr) - 1; //从右向左扫描
do
{
c = expr[i];
if (isdigit(c)) s2.push(c); //数字直接压栈s2
else
{
if (')' == c) s1.push(c); //遇到右括号，直接压入栈s1
else if ('(' == c) //遇到左括号
{
while (')' != s1.top())
{
s2.push(s1.top());
s1.pop();
}
s1.pop();
}
else //其它非括号运算符
{
if (s1.empty() || ')' == s1.top()) s1.push(c);
else
{
while (!s1.empty() && (-1 == priority[get_op(c)][get_op(s1.top())]))
{
s2.push(s1.top());
s1.pop();
}
s1.push(c);
}
}
}
i--;
} while (i > -1);
while (!s1.empty()) //把s1中剩余字符压入s2
{
s2.push(s1.top());
s1.pop();
}
do
{
cout << s2.top();
s2.pop();
} while (!s2.empty());
return 0;
}
int main(void)
{
//中缀转后缀
char expr[] = "1+((2+3)*4)-5";
stack<char> s1, s2;
int i, n;
char c;
i = 0; //从左至右扫描中缀表达式
n = strlen(expr);
do
{
c = expr[i];
if (isdigit(c)) s2.push(c); //数字直接压栈s2
else
{
if ('(' == c) s1.push(c); //左括号
else if (')' == c) //右括号
{
while ('(' != s1.top())
{
s2.push(s1.top());
s1.pop();
}
s1.pop();
}
else
{
if (s1.empty() || '(' == s1.top()) s1.push(c);
else
{
while (!s1.empty() && (priority[get_op(c)][get_op(s1.top())]) <= 0)
{
s2.push(s1.top());
s1.pop();
}
s1.push(c);
}
}
}
i++;
} while (i < n);
while (!s2.empty()) //把s1中剩余字符压入s2
{
s1.push(s2.top());
s2.pop();
}
do
{
cout << s1.top();
s1.pop();
} while (!s1.empty());
return 0;
} 代码下载：前缀、中缀、后缀表达式
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