P2766 最长不下降子序列问题 网络流
link:https://www.luogu.org/problemnew/show/P2766
题意
给定正整数序列x1,...,xn 。
(1)计算其最长不下降子序列的长度s。
(2)计算从给定的序列中最多可取出多少个长度为s的不下降子序列。
(3)如果允许在取出的序列中多次使用x1和xn,则从给定序列中最多可取出多少个长度为s的不下降子序列。
设计有效算法完成(1)(2)(3)提出的计算任务。
思路
题解来自网络流24题:
【问题分析】
第一问是LIS,动态规划求解,第二问和第三问用网络最大流解决。
【建模方法】
首先动态规划求出F[i],表示以第i位为开头的最长上升序列的长度,求出最长上升序列长度K。
1、把序列每位i拆成两个点<i.a>和<i.b>,从<i.a>到<i.b>连接一条容量为1的有向边。
2、建立附加源S和汇T,如果序列第i位有F[i]=K,从S到<i.a>连接一条容量为1的有向边。
3、如果F[i]=1,从<i.b>到T连接一条容量为1的有向边。
4、如果j>i且A[i] <= A[j]且F[j]+1=F[i],从<i.b>到<j.a>连接一条容量为1的有向边。
求网络最大流,就是第二问的结果。把边(<1.a>,<1.b>)(<N.a>,<N.b>)(S,<1.a>)(<N.b>,T)这四条边的容量修改为无穷大,再求一次网络最大流,就是第三问结果。
实际操作中,直接在原图中增加容量为inf的边即可。
【建模分析】
上述建模方法是应用了一种分层图的思想,把图每个顶点i按照F[i]的不同分为了若干层,这样图中从S出发到T的任何一条路径都是一个满足条件的最长上升子序列。
由于序列中每个点要不可重复地取出,需要把每个点拆分成两个点。单位网络的最大流就是增广路的条数,所以最大流量就是第二问结果。
第三问特殊地要求x1和xn可以重复使用,只需取消这两个点相关边的流量限制,求网络最大流即可。
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