时变磁场的计算
导线连接圆形电容，电容半径为 \(R\) ，通电的时候，会在电容内部产生一个变化的电场E。
静态时，我们可以计算电容内部电场为
\[E=\frac{\sigma _{\text{free}}}{\kappa \epsilon _0} =\frac{Q_{\text{free}}}{ \text{$\pi $R}^2 \kappa \epsilon _0}
\]
但由于给电容通电，\(Q_{free}\) 在不断增加，电场变化的，为 \(\frac{\text{dE}}{\text{dt}}\) ,根据电流定义：
\[I=\frac{\text{dQ}_{\text{free}}}{\text{dt}}
\]
可得变化的电场为
\[\frac{\text{dE}}{\text{dt}}=\frac{I}{\kappa \epsilon _0 \text{$\pi $R}^2}
\]
只有电流为0时，电容内部才没有变化的电场。
通电瞬间，中间有电介质电容，电荷在极板上不断聚集，同时电介质不断的极化，感应电荷不断重新排列（电荷移动——内部有电流），当极板上的正负电荷达到一定程度，与电源提供的电场大小相同时，电荷不再聚集，电介质不再极化时，此时电流就为0。但是在真空电介质中，电容内部是没有电流的。
在距离导线 \(r\) 处取一点 \(P_1\) ，在电容上方距离导线相同距离的地方取一点 \(P_2\)。
我们关心的是，\(P_1\) 和 \(P_2\) 点的磁场是多少？由于电容是开口的，没有电流流过，怎么计算？
计算磁场大小，我们前面学过了毕奥萨法尔定律和安培定律，理论上毕奥萨法尔定律可以计算，但是电流会流到电容圆形极板上，显然很难计算。故用安培定律计算。
计算 \(P_1\) 处磁感应强度
选择半径为 \(r\) 的闭合圆环应用安培定律，给圆环加上一个开曲面，先可以直接选择这个平面。
应用安培定律可得
\[B_{P_1}\ 2 \text{$\pi $r}=\mu _0 I
\]
故
\[B_{P_1}=\frac{ \mu _0 I}{2 \text{$\pi $r}}
\]
依然选择半径为 \(r\) 的闭合圆环应用安培定律，但给圆环加上一个穿过电容内部的开曲面，因为电容内部是开路的，没有电流穿过开曲面。
应用安培定律
\[B_{P_1}\ 2 \text{$\pi $r}=\mu _0 0
\]
现在计算结果为0。
计算 \(P_2\) 处磁感应强度
同 \(P_1\) 一样，选择半径为 \(r\) 的闭合圆环，给圆环加上一个开曲面，先可以直接选择这个平面。
应用安培定律
\[B_{P_2}\ 2 \text{$\pi $r}=\mu _0 0
\]
故
\[B_{P_2}=0
\]
显然出错了，计算有问题。
这说明，安培环路定律不够完善。前面的安培环路定律只能研究恒定磁场与直流(传导电流)之间的关系。
修正的安培环路定理与位移电流
麦克斯韦大佬作出了解释。他认为不论闭合曲线包围的开曲面形状如何，都应该得到相同的结果。
麦克斯韦对安培定律进行了完善。
他推理，法拉第定律指出，变化的磁通量会激发电场，那么也许变化的电通量会激发磁场。
开曲面中电通量为
\[\phi _E=\underset{\text{open}\ \text{surface}}{\int }\overset{\rightharpoonup }{E} \overset{\rightharpoonup }{\text{dA}}
\]
电容有“电流""时，必须有变化的电场。麦克斯韦提出，我们必须加上电通量的导数。
\[\frac{\text{d$\phi $}_e}{\text{dt}}
\]
修正的安培环路定理：
\[\underset{\text{close}\ \text{loop}}{\oint }\overset{\rightharpoonup }{B} \overset{\rightharpoonup }{\text{dl}}=\mu _0\ (I+\epsilon _0 \kappa \frac{d}{\text{dt}} \underset{\text{open}\ \text{surface}}{\int } \overset{\rightharpoonup }{E} \overset{\rightharpoonup }{\text{dA}})
\]
其中
\[\epsilon _0 \kappa \frac{d}{\text{dt}} \underset{\text{open}\ \text{surface}}{\int } \overset{\rightharpoonup }{E} \overset{\rightharpoonup }{\text{dA}}
\]
麦克斯韦将这一项记为 "位移电流" 。
实际上后面还需要修正。
但现在我们得到计算磁场的工具。
重新考虑 \(P_1\)
计算\(P_1\) 处磁感应强度
如果直接选择圆环内平面作为开曲面，没有电场穿过开曲面，显然位移电流项为0，故
\[B_{P_1}=\frac{ \mu _0 I}{2 \text{$\pi $r}}
\]
如果选择一个穿过电容内部的开曲面，没有电流穿过开曲面，第一项电流为0，第二项加入电通量的导数，假设电容没有边缘场，则电通量就是 $ E \pi R^2$ ,
\[\begin{align}
B_{P_1}\ 2 \text{$\pi $r}&=\mu _0 \epsilon _0 \kappa\ \pi R^2\frac{\text{dE}}{\text{dt}}\\
&=\mu _0 \epsilon _0 \kappa\ \pi R^2\ \frac{I}{\kappa \epsilon _0 \text{$\pi $R}^2}\\
&=\mu _0 I
\end{align}
\]
可得
\[B_{P_1}=\frac{ \mu _0 I}{2 \text{$\pi $r}}
\]
结果相同。
一种是位移电流项没有贡献，一种是传导电流项没有贡献。
电容内部的磁场
现在我们可以计算电容内部任何地方的磁场。
假设 \(P_2\) 在距离导线 \(r<R\) 的距离，直接选择圆环内平面作为开曲面，有电场穿过。
应该修正后的安培环路定理，注意开曲面表面积是 \(\pi r^2\)
\[\begin{align}
B_{P_2}\ 2 \text{$\pi $r}&=\mu _0 \epsilon _0 \kappa\ \pi r^2\frac{\text{dE}}{\text{dt}}\\
&=\mu _0 \epsilon _0 \kappa\ \pi r^2\ \frac{I}{\kappa \epsilon _0 \text{$\pi $R}^2}\\
&=\mu _0 I
\end{align}
\]
可得
\[B_{P_2}=\frac{ \mu _0 I r}{2 \pi R^{2}}
\]
我们可以画出电容磁感应强度关于距离 \(r\) 曲线图
但实际上，接近边缘时是不正常的（方框，也就是 $r=R $），因为我们假设了边缘场为0，不同电容有不同的边缘场，很难准确计算，所以很难改正。
