电磁场12.EMF的产生与涡电流

产生EMF的三种方式

如下图,矩形的导电回路连接一个平面,长宽分别为 \(x,y\) ,一个均匀分布的磁场 \(B\) 穿过平面,且与平面的法向量的夹角为 \(\theta\) .

则磁通量定义为BdA在这个开曲面上的积分

\[\begin{align} \phi _B&=\underset{\text{open} \ \text{surface}}{\int } \overset{\rightharpoonup }{B} \overset{\rightharpoonup }{\text{dA}}\\ &=x\ y\ B\ cos(\theta) \end{align} \]

根据法拉第定律,这个量对时间的导数,就是电动势 \(EMF\)

那么我们可以采用多种方式,

  1. 取磁场的变化,即 \(\frac{\text{dB}}{\text{dt}}\)
  2. 取面积的变化,即 \(\frac{\text{dA}}{\text{dt}}\)
  3. 取夹角的变化,即 \(\frac{{d \theta}}{\text{dt}}\)

改变磁场产生EMF的方法我们已经讨论过,这里讨论夹角和面积。

改变夹角—发电机

如图,矩形的导电回路连接一个平面,长宽分别为 \(x,y\) ,以x/2为轴,角频率 \(\omega\) 旋转平面,在 \(t=0\) 时刻,平面法向量与磁场夹角为0,那么旋转过程中,夹角为 \(\omega\)t 。如果初始时刻夹角为 \(\omega_0\) ,则旋转过程中夹角为 \(\omega_0+\omega t\) .这里讨论初始夹角为0的情况。

则此时磁通量为

\[\begin{align} \phi _B&=\underset{\text{open} \ \text{surface}}{\int } \overset{\rightharpoonup }{B} \overset{\rightharpoonup }{\text{dA}}\\ &=x\ y\ B\ cos(\omega t) \end{align} \]

取导数可得

\[\begin{align} \frac{\text{d$\phi $}_B}{\text{dt}} &=-x\ y\ B\ \omega \ sin(\omega t)\\ &=\epsilon(t) \end{align} \]

可见,此时感生电动势随着时间变化。

因为感应电流等于感生电动势除以回路的电阻,所以感应电流也是随着时间变化的,即

\[I(t) =\frac{\epsilon (t)}{R} \]

式子中的 \(sin(\omega t)\) 告诉我们,当我们旋转这个回路的时候,电流将会以 正弦 的形式交替变化。

并且旋转的频率越快,感生电动势越大。

如果这个回路变为两匝,那么EMF也会变为2倍,因为两匝存在上下两个平面,磁场线穿过了两个平面,面积加倍,EMF变为两倍。EMF与匝数成正比。

面积、磁感应强度越大,旋转角频率越大,EMF越大,这就是交流发电机的基本思想。(虽然实际发电机角频率是一定的)

改变面积

还是一个矩形闭合导线回路,长为 \(x\),不同的是一边用一个可以滑动的长为 \(l\) 导体棒代替,导体棒以速度 \(v\) 运动,所以 \(x\) 是变的。

假设磁场垂直纸面向外

磁通量为

\[\begin{align} \phi _B&=\underset{\text{open} \ \text{surface}}{\int } \overset{\rightharpoonup }{B} \overset{\rightharpoonup }{\text{dA}}\\ &=x\ l\ B\ cos(0)\\ &=x\ l\ B \end{align} \]

求导,位移导数就是速度,得

\[\begin{align} \frac{\text{d$\phi $}_B}{\text{dt}} &=-\frac{\text{dx}}{\text{dt}}\ l\ B\\ &=-v\ l\ B \end{align} \]

我们也可以通过做功导出EMF。

如果只看导体棒,在磁场中其所受到的洛伦兹力 \(F_l\) 与B、I垂直, 在这种情况下

\[F_l=I\ l\ B \]

如果将导体棒向右拉,磁通量减小,根据楞次定律,感应电流方向应该是自上往下,根据右手定则洛伦兹力 \(F_l\) 向左,我们施加的力要克服 \(F_l\) 做功,大小一样,而且是正功。我们做的功将会转变为EMF,产生感应电流作用在回路电阻上,以热量的形式散发掉。

功率 \(P_l\) 为(单位时间内做的功,所以x/t=v)

\[P_l=F_l\ v\ \]

功率又等于

\[P_l=\epsilon I \]

可得

\[\epsilon I =I\ l\ B\ v \]

\[|\epsilon| = l\ B\ v \]

我们只关心EMF的大小。因为楞次定律总可以告诉我们方向。

改变导体棒的运动方向,感应电流也随之反向,洛伦兹力也反向,所以我们总是做正功。

涡电流与磁制动

以下来自维基百科:https://en.wikipedia.org/wiki/Eddy_current

(机翻)一块金属板(C)在一个固定的磁铁下面向右移动。磁体北极N的磁场(B,绿色箭头)穿过薄片。由于金属在移动,通过薄片某一特定区域的磁通量也在变化。在薄片在磁铁前缘(左侧)下面移动的部分,通过薄片上某一点的磁场随着它越来越靠近磁铁而增加,\(\frac{dB}{dt}>0\) ,根据法拉第感应定律,这将在薄片上形成一个绕磁场线逆时针方向的圆形电场,这个电场产生了逆时针方向的电流,如图红色线。在薄片底部的磁铁尾缘(右侧),磁场通过薄片上的一个给定点是减少的,因为它是远离磁铁的移动,\(\frac{dB}{dt}<0\) ,在薄片中顺时针方向诱导第二股涡流。

根据安培电路定律,薄片中的每一个圆电流都产生一个反向磁场(蓝色箭头)。根据楞次定律,通过薄片的反向场与磁场的变化相反。在磁铁的前缘(左边),根据右手规则,逆时针方向的电流创造了一个指向上方的磁场,与磁铁的磁场相反,在薄片和磁铁的前缘之间产生排斥力。相反,在尾部边缘(右侧),顺时针方向的电流引起一个指向下方的磁场,与磁铁的磁场方向相同,在薄片和磁铁尾部边缘之间产生一个吸引力。这两种力都阻碍了板块的运动。

在移动的过程中,会消耗动能,产生热量。她穿过磁场时,显然不会比没有磁场移动的更快。我们称为“磁制动

消耗的热能越多,制动越快,减小涡流,就可以减小损耗。\(P=\epsilon I=I^{2}R\)

posted @ 2021-02-20 11:08  懒懒阳光下的午睡  阅读(948)  评论(0编辑  收藏  举报