电磁学8.磁场中的运动电荷

电子伏

假设有两个导体，都是等势体，导体A的电势为 \(V_A\) ,导体B的电势为 \(V_B\) ,\(V_A>V_B\) 。两个导体处于正空中，在导体A表面释放一个正电荷 \(+q\) ,在电场作用下电荷向B移动，电场分布异常复杂，但最终会到达B。

问题是：如果以初始速度为0释放，到达B时速度是多少？

电场对电荷做功，因为是保守场，路径不再重要。

\[W=\int_A^B \overset{\rightharpoonup }{F} \, d\overset{\rightharpoonup }{l} \]

又

\[\overset{\rightharpoonup }{F}= q\overset{\rightharpoonup }{E} \]

可得

\[W=\int_A^B q\overset{\rightharpoonup }{E} \, d\overset{\rightharpoonup }{l} \]

电场乘以两边之间的距离就是电势差，故

\[W= q（V_A-V_B） \]

加入实际数据，考虑是质子在移动，质量 \(m=1.7*10^{-27}\) kg，质子的电荷和电子是相同的，为 \(1.6*10^{-19}\) C.

假设AB之间的电势差为1百万伏特。

可以计算出来做功为 \(W=1.6*10^{-13}J\) ,这个功等于质子到达B时获得的动能，但几乎不会有物理学家用这种说法，而是把这个质子的动能叫做1兆电子伏（1MeV） 。

电子伏是一个电子通过1伏的电势差获得的能量，这是电子伏的定义。

所以可以称之为拥有1MeV能量的质子。

又质子到达B时获得的动能等于W，可得

\[1.6*10^{-13}J=\frac{\text{mv}^2}{2} \]

可以计算出质子的速度为 \(v=1.4*10^7m/s\)，大约为光速的5%，故不用相对论修正。

在磁场中的运动电荷

洛伦兹力等于电荷乘以她本身的速度和所在磁场的叉积：

\[\overset{\rightharpoonup }{F}=q（\overset{\rightharpoonup }{v}\Lambda \overset{\rightharpoonup }{B}） \]

洛伦兹力垂直于速度和磁场，洛伦兹力不会改变电荷的动能（不会做功），但会改变电荷运动的方向。

假设电荷 \(q\) 以 \(v\) 速率运动，磁场方向垂直于纸面向外，此时速度和磁场垂直，如图

电荷将在洛伦兹力下做圆周运动，这个洛伦兹力又是离心力，假设圆周半径为 \(R\) ,则

\[F=qvB=\frac{\text{mv}^2}{R} \]

其中m为电荷的质量。

可得

\[R=\frac{\text{mv}}{\text{qB}} \]

从式子中可知，电荷q越大，磁场越强，洛伦兹力越大，半径越小；

电荷的质量越大，惯性越大，半径越大。

电荷运动时做的功为电荷量乘以通过的电势差，也等于电荷在该点的动能：

\[q\Delta V_{diff}=\frac{\text{mv}^2}{2} \]

其中大写的V为电势差，乘以电荷量就是功。

用电势差替换速度，可得

\[R=\sqrt{\frac{2 \text{mV}}{\text{qB}^2}} \]

两个式子代表的意义相同，只是表达方式不一样。

这两个式子只在电荷运动速度远小于光速的条件下才成立，否则就需要用相对论来修正。这里不做延申（理解不能==）。

质谱仪基本原理

区分同种元素的不同同位素。

例如，拿铀来说，铀的99.3%是铀238（92个质子，92个电子，146个中子），0.7%是铀235（92个质子，92个电子，143个中子），同位素化学性质完全相同，无法从化学方面分离。

下面讲解用质谱仪来分离她们。

将铀加热，使她电离，假设她电离了一次，失去一个电子，所以带了一个单位的正电。

然后让她通过一定的电势差，（在电场下获得动能）使她加速，获得一定的速率。

假设带电粒子（带了一个单位的正电）周围有一个磁场，磁场方向垂直纸面向外，带电粒子将在洛伦兹力下沿圆周运动。

根据前面的结论

\[R=\sqrt{\frac{2 \text{mV}}{\text{qB}^2}} \]

同位素的电荷量相同，通过的电场获得的动能相同（电势差相同），磁场相同，但是质量不同，半径和粒子的质量的平方根成正比，铀238的质量比铀235的大1.2%，所以她们会落在不同的位置。

这就是质谱仪的基本原理——根据同位素质量不同，电离带电后粒子在磁场中运动的半径不同。

质谱仪除了在军用方面（核物理），在医疗行业也有广泛的应用，有时人们需要特定的同位素的放射，不希望其他同位素掺入，就可以用质谱仪来分离她们。