电磁学5.场能密度、电容与介电常数

场能密度

假设有两个平行板，上面一块带正电荷 \(+Q=\sigma A\)，下面带负电荷 \(-Q=-\sigma A\)

$\sigma $ 为电荷密度，\(A\) 为表面积。两块板距离为 \(h\) 。

电场接近恒定（在对称原则下，可以使用高斯定理，\(EA=Q/\epsilon _0\)，板外电场处处为0），电场大小为

\[E = \frac{\sigma }{\epsilon _0} \]

现在保持下面板子，把上面的板子向上移动，因为两块板吸引，显然我们需要做功。

向上移动 \(x\) 距离后，会在这个高度的空间内产生新的电场，新的电场和原来的电场一样，因为移动时板上电荷不变。

问题是：向上移动 \(x\) 距离，我们需要做多少功？

我们单独看上面的板子，放大，导体板的内下表面的电荷用蓝线表示。因为是导体，我们前面说过，导体内部电场为0，只分布在表面，下表面电场不为0.

所以板子中电荷的电场应该是这两者的平均值：

\[E_s = \frac{\sigma }{2\epsilon _0} \]

作用在这一层电荷上的力，我们就可以通过库伦定理求出

\[F=QE_s=\frac{QE }{2} \]

我们做的功就是

\[W=\frac{\text{QEx}}{2}=\frac{\text{$\sigma $AEx} \epsilon _0}{2 \epsilon _0}=\frac{1}{2} \epsilon _0 E^2 \text{Ax} \]

其中我们上下都乘了 \(\epsilon _0\) ,这样做的意义是又能得到 \(E = \frac{\sigma }{\epsilon _0}\) 。

\(Ax\) 是新创造的电场的体积。

单位体积做的功就是：

\[W_s=\frac{\epsilon _0 E^2 }{2} \]

因为这个功创造了电场，所以我们把她叫做“场能密度”。单位是焦耳每立方米。

一般电场能密度都可以这样表示，这个公式不是针对特定的电荷分布，是通用的。对任何的电场分布都有效。

现在我们有了一个新的视角来看待把电荷组装起来所需要的能量。早先我们是通过从无穷远搬运到各自位置所做的功，现在我们有了一个计算静电势能更方便的式子：把电场能密度在整个空间内积分（当然可以积分到无穷远的地方）。

静电势能用电场能密度计算：

\[U=\int \frac{\epsilon _0 E^2 }{2} \, dV \]

这里V表示体积，空间大小。

这是看待静电势能的另一种方式，我们可以把她看作电场所包围的能量，而不是组装这些电荷所需要的功。

电容

电容定义（1）：为一个物体的电荷量除以它的电势。即

\[C=\frac{Q}{V} \]

例1

假设一个球上带电荷量为 \(Q\) ,半径为 \(R\)

球表面电势 \(V\) 为

\[V=\frac{Q}{4 \pi \epsilon _0 R} \]

那么这个球电容为：

\[C=\frac{1}{4 \pi \epsilon _0 R} \]

单位是库伦每伏特。但是我们常用“法拉（F）”

我们可以把她看成是半径 \(R\) 的函数。

在限定的电势下，电容越大，意味着 \(4 \pi \epsilon _0 R\) 越小，所容纳的电荷越多。这就是电容这个词的含义。

例2

假设有两个靠近的球A和B，A带负电荷 \(-Q_A\)，B带正电荷 \(+Q_B\)

根据定义，B的电容为

\[C_B=\frac{Q_B}{V_B} \]

但是，这里定义是不准确的。

电势是从无穷远处搬运到指定位置的单位电荷做的功，球B上电荷 \(+Q_B\) ，克服电场力我们就需要做正功，但是由于球A电荷是 \(-Q_A\) ,显然我们做的功减少了，所以电势 \(V_B\) 减小了，\(C_B\) 增大了。

球A对球B的电容有不可忽视的作用。

我们称B的电容是不准确的，我们要求的是A存在情况下B的电容。不能单独考虑B。

所以我们需要改变电容的定义。

电容的定义（2）：两个带有相同电荷量，但是极性相反的导体，两者组合起来的电容是其中一个上面导体的电荷量除以她们之间的电势差。即

\[C=\frac{Q}{V_{diff}} \]

所以通常处理的是两个物体。

平行板电容

再来看两个板之间的电容是多少。

从定义2，根据电势是电场沿距离的积分，我们可以得出

\[C=\frac{Q}{V_{diff}}=\frac{Q}{Ed}=\frac{A \sigma \epsilon _0}{d \sigma }=\frac{A \epsilon _0 }{d} \]

这就是平行板电容的公式。

电容大小和面板的面积成正比，就是面积越大，能装的电荷越多；和平行板之间的距离成反比，因为距离越近，一块板对另一块板的电势影响越大，就是电势越小（例二），电容越大。

平行板电容能存储能量为

\[W=\frac{\text{QEx}}{2}=\frac{{Q V_{diff} }}{2} = \frac{CV_{diff}^2}{2} \]

我们可以把电容看成是储存电能的装置。

介电常数

绝缘体的电子被束缚在原子或分子周围，不像导体那样可以自由移动，但是，当我们施加一个足够强的外电场时，微观上原子核和电子在电场作用下偏移，由于静电感应产生极化，宏观上可以看到绝缘体内部正负抵消，只在边缘出现感应电荷。

假设有一个平行板电容器，上面板电荷密度为 \(+\sigma _f\)，下面一块板电荷密度为 \(-\sigma _f\) 。 \(f\) 代表自由“free”。

我们得到自上向下的电场 \(E_f\).

现在我们往中间加入电介质（绝缘介质），在外电场作用下发生极化，上下产生感应电荷，电介质上面一层感应电荷的密度为 \(-\sigma_i\)，下面一层为 \(+\sigma_i\)，产生与 \(E_f\) 方向相反的电场 \(E_i\) .

则在两块平行板内，合电场 \(E\) 就是这两个电场的矢量和：

\[\begin{align} \overset{\rightharpoonup }{E}&=\overset{\rightharpoonup }{E_f}-\overset{\rightharpoonup }{E_i}\\ &\rightarrow\frac{\sigma_f }{\epsilon _0}-\frac{\sigma_i }{\epsilon _0} \end{align} \]

感应电荷可以看作是自由电荷按一定比例 \(b\) 被感应出来的。即：

\[\sigma_i=b* \sigma_f(b<1) \]

那么感应场强就可以写成一定比例的自由场强：

\[E_i=b*E_f \]

故合场强为

\[E=（1-b）E_f \]

一般我们将\(（1-b）\) 写成 \(\frac{1}{K}\) (一个意思)，所以

\[E=\frac{E_f }{K} \]

我们将 \(K\) 称为介电常数。无量纲。

所以，插入电介质，电场就变为原来的 \(\frac{1}{K}\) ，变小了。

电场变小，不改变距离 \(d\)，平行板两边的电势差也会变小 \(V=Ed\)。由电容定义可知，电容将变大。

插入电介质的平行板电容大小，计算公式为

\[C=\frac{A \epsilon _0 }{d}K \]

通过电介质的介电常数修正。

从这个式子我们也可以看出，为了增大电容容量，我们可以通过增大 \(A、K\)，减小 \(d\) 。

\(d\) 在保证不击穿的条件下，可以做到微米级别。

水的介电常数为80，但是击穿场强太小，显然不合适，聚乙烯的介电常数为3，击穿场强为1800万伏特每米，可以作为电容的电介质，有很多电容就是利用这种材料——薄膜电容中一种。

电子电力中的电容，其实就是根据电介质来分类。