电磁学2.静电势能和电势

静电势能

在静电学里，静电势能是处于电场的电荷分布所具有的势能，与电荷分布在系统内部的组态有关。

假设有点电荷 \(q_1\) ,距离为 \(R\) 的位置 \(P\) 点又有点电荷 \(q_2\).

很明显，如果我们要移动两个电荷到相对位置，我们需要做功克服电场力。所以电荷上已经做了功，这就是静电势能。就像挤压弹簧，松手后又会弹开。

假设空间为空，第一次放置 \(q_1\) 不需要做功。但是放置 \(q_2\) 到 \(P\) 点就需要克服电场力 \(\overset{\rightharpoonup }{F_{el}}\)做功。施加的力设为 \(\overset{\rightharpoonup }{F_{kl}}\)。两个力大小相等，方向相反。两个点电荷的距离设为 \(r\) .

从无限远处把电荷移动到 \(P\) 点做的功就是静电势能U：

\[\begin{align} U=W_{kl} &= \int _{\infty }^R \overset{\rightharpoonup }{F_{kl}} \overset{\rightharpoonup }{dr} \\ &= \int _R^{\infty } \overset{\rightharpoonup }{F_{el}} \overset{\rightharpoonup }{dr} \\ &=\frac{q_1 q_2}{4 \pi \epsilon _0} \int _R^{\infty }\frac{\text{dr}}{r^2} \\ &= \frac{q_1 q_2}{4 \pi \epsilon _0 R} \end{align} \]

静电势能U是一个标量。单位是 焦。电场力是保守力，一点到另一点做的功与路径无关。可以是正值，也可以是负值，负值表示做负功。

电势

假设检验电荷从无穷远位置，经过任意路径，克服电场力，缓慢地移动到某位置，则在这位置的电势，等于因迁移所做的机械功与检验电荷量的比值。

其实就是：从无穷远处移动到 \(P\) 点，单位电荷所做的功。

等式右边只剩下生场电荷的电荷量。

\[V_{P}=\frac{Q}{4 \pi \epsilon _0 R} \]

单位是 焦/库伦。但是没人这么叫，一般都用 伏特（V）。很显然就是为了纪念这位大佬。两个叫法一个意思。

电势随着距离成 \(\frac{1}{R}\) 下降。假设空间中只有一个点电荷 \(Q\) ,如果是正电荷的，任何位置的电势都是正的，如果是负电荷的，任何位置的电势都是负的。只有在真正的无穷远处，电势才为0.

多点电荷在某点位置产生的电势，利用叠加定理可以很容易求解。

等电势面

假设球形空心金属壳，表面均匀布满电荷，任何一处电荷密度一样。比如范式起电机。

那么我们将一个电荷从无穷远处移动到金属壳表面时，是有做功的，但是移动到金属壳内部，由高斯定律，可知内部没有电场，所以没有电场力的作用，意味着不用做功。

所以，内部电势将保持恒定。金属壳内部任何位置的电势都是相等的。

此时内部就是一个等势面。

等势面，简单理解就是，将点电荷从无穷远处移动到这个面上的线时，所做的功都是相等的。

例如以下蓝色虚线

等势面有什么用？

电场确定时，我们就可以预测电场中电荷的受力情况。但是有时候，电场是难以想象的复杂的，利用等势面会容易的多，因为一点到另一点动能的改变完全取决于电势的变化。

所以我们只关心动能的改变的话，等势面会让计算方便的多，就像上面那幅图的第三个图，多点电荷产生的电场会异常复杂，而等势面显然简便很多。

在重力场中，铅笔总是想从高势能处向低势能处运动。相对地，正电荷总是试图从高电势移动到低电势，负电荷总是试图从低电势移动到高电势。

电势差

假设在电场中，A点电势为 \(V_A\)，B点电势为 \(V_B\) 。

则两点电势差为

\[\begin{align} V_A-V_B&=\int _A^{\infty }\overset{\rightharpoonup }{E}\overset{\rightharpoonup }{dl}-\int _B^{\infty }\overset{\rightharpoonup }{E}\overset{\rightharpoonup }{dl}\\ &=\int _A^{B }\overset{\rightharpoonup }{E}\overset{\rightharpoonup }{dl} \end{align} \]

将一个电荷 \(q\) 从无穷远移动到B，做功，再从B移动到A，显然要出更多的力，这部分力做功，如果我们此时撤去这部分力，电荷将从A返回B，此时势能转换为电荷运动的动能。大小就是电荷量乘以电势差。

当只研究动能时，显然电势差方便很多。而且我们可以任意假设电势零点，来简化计算。（电路中假设的地）

电场与电势的关系

在点电荷产生的静电场中，距离 \(r\) 的 \(P\) 点的电场为

\[\overset{\rightharpoonup }{E}=\frac{q \overset{\rightharpoonup }{r}}{4 \pi \epsilon _0 r^2} \]

电势为

\[V=\frac{Q}{4 \pi \epsilon _0 r} \]

前面我们知道，电势是电场沿一条线的积分。反过来，电场可以写成电势的导数。

对电势公式求导，可得

\[\frac{\text{dv}}{\text{dr}}=-\frac{Q}{4 \pi \epsilon _0 r^2} \]

电场是矢量，电势是标量，我们可以两边同时乘以方向单位矢量。

\[\frac{\text{dv}}{\text{dr}}\overset{\rightharpoonup }{r}=-\frac{Q}{4 \pi \epsilon _0 r^2}\overset{\rightharpoonup }{r} \]

所以电势的导数是电场的负数。

可得公式：

\[\overset{\rightharpoonup }{E}=-\frac{\text{dv} }{\text{dr}}\overset{\rightharpoonup }{r} \]

知道了电势，也就能找回电场。

加深理解

假设空间存在电场， \(P\) 点有唯一的电势 \(Vp\)。

现在在笛卡尔坐标系中，只沿x轴走微小距离，如果电势没有改变，那么电场在

x轴上分量为0。如果实测有电势改变，则电场在x轴上分量大小为

\[\left| E_x\right| =\left|\frac{\text{$\Delta $v}}{\text{$\Delta $x}}\right|（\text{$\Delta $y},\text{$\Delta $z}=0） \]

同理，可得其他两个方向分量大小

\[\left| E_y\right| =\left|\frac{\text{$\Delta $v}}{\text{$\Delta $y}}\right|（\text{$\Delta $x},\text{$\Delta $z}=0） \]

\[\left| E_z\right| =\left|\frac{\text{$\Delta $v}}{\text{$\Delta $z}}\right|（\text{$\Delta $x},\text{$\Delta $y}=0） \]

单位是伏特每米。其实和牛顿每库伦表达意思一样，只是形式不一样。

这样我们可以得到在笛卡尔坐标系中电势和电场的关系：

\[\overset{\rightharpoonup }{E} =- \left( \left| \frac{\partial v}{\partial x}\right|\hat{x} + \left| \frac{\partial v}{\partial y}\right|\hat{y} + \left| \frac{\partial v}{\partial z}\right|\hat{z}\right). \]

它是电势在各个坐标方向上的偏导数。其实就是电场在各个方向上的矢量分解。

例子

假设在距离 \(x=0-10^{-2}\) 内， 电势为 \(V=10^5x\) ,即随距离线性变化。

那么我们可以计算出电场

\[\overset{\rightharpoonup }{E} = -10^{-5} \hat{x} \]

那么在这个范围内，电场只随距离线性变化。