线性代数.21特征值和特征向量

这节课将讲解课程中很大的主题，还是对方阵而言，讨论特征值和特征向量，下一节课讲解应用。

特征向量与特征值

给定矩阵 \(A\)

矩阵作用在向量上，矩阵 \(A\) 的作用就像输入向量 \(x\) ,结果得到向量 \(Ax\)。就像一个函数，微积分中的函数表示作用在数字 \(x\) 上得到 \(f(x)\) ，矩阵就是一种变换。

在这些 \(x\) 向量中，我们比较感兴趣的是变换前后还与原来互相平行的向量，多数向量而言，\(Ax\) 是不同方向的，有特定的向量能使得 \(Ax\) 平行于 \(x\) 。这些 \(x\) 就是 特征向量。

\(x\) 只经行了缩放变换，方向并没有改变。

\[Ax=\lambda x \]

其中，\(\lambda\) 是所成系数，可以是负值或零。负值表示变换前后方向相反。这个值就是 特征值。

零特征值，表示 \(Ax=0x\) ,\(x\) 是零空间里面的向量。如果 \(A\) 是奇异矩阵，说明把她作用到非零向量 \(x\) 后得到 0

零向量可以取任意方向，和任意向量平行。

前面也提过，零向量垂直于任意向量，因为零向量点乘任何向量都为零。

注意，\(x\) 非零。

例子

在引入行列式求解特征向量和特征值之前，我们先看看已学矩阵的特征向量和特征值是什么。

例子1

假设给定某个平面，将向量 \(b\) 通过投影矩阵 \(P\) 投影到平面上。投影矩阵的特征向量和特征值分别是什么？

1. 当 \(b\) 是平面上任意向量时，投影的结果还是 \(x\) 。

\[Px=x \]

\(P\) 是变换矩阵，此时 \(x\) 是特征向量，特征值 \(\lambda=1\)。

2. 垂直于平面的向量（零空间）是特征向量，特征值 \(\lambda=0\)
   \[Px=0 \]

例子2

假设有 \(2*2\) 置换矩阵

\[A=\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right) \]

我们可以求出她的两个特征向量和特征值

\[x_1=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ \end{array} \right),\text{Ax}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ \end{array} \right),\lambda=1 \]

\[x_1=\left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ \end{array} \right),\text{Ax}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ \end{array} \right),\lambda=-1 \]

特征值的性质

1. \(n*n\) 矩阵有 \(n\) 个特征值

2. 特征值的和等于对角线的元素和，这个和数叫做"迹（trace）"。

\[\lambda's=a_{11}+a_{22}+a_{33}+...+a_{nn} \]

在 \(2*2\) 例子中，一旦找到了一个特征值 ,就可以找到另一个特征值.

3. 特征值之积等于行列式

求解 \(Ax=\lambda x\)

怎么求解特征值和特征向量，此时方程有两个未知量？

将右侧向量移到左边：

\[(A-\lambda I)x=0 \]

对于非零 \(x\) ,相乘以后等于0，我们可以知道 \((A-\lambda I)\) 不可逆，是奇异的。可得

\[|A-\lambda I|=0 \]

这个只含有 \(\lambda\) 方程叫做特征（值）方程。

思路是先解出 \(\lambda\) 。\(\lambda\) 可能不只一个，而是 \(n\) 个。

解出 \(\lambda\) 之后，取出一个 \(\lambda\) 代入，利用消元法求解零空间基向量的方法，就可以求解出 \(x\) 。

例子1

\[A=\left( \begin{array}{cc} 3 & 1 \\ 1 & 3 \\ \end{array} \right) \]

给定矩阵 \(A\) ，计算特征值和特征向量。

\[\begin{align} |A-\lambda I|= \left| \begin{array}{cc} 3-\lambda & 1 \\ 1 & 3-\lambda \\ \end{array} \right|=(3-\lambda)^2-1= 0\\ \end{align} \]

解得 \(\lambda_1=2\) , \(\lambda_2=4\) .

当 \(\lambda_1=4\) 时，

\[A-4I=\left( \begin{array}{cc} -1 & 1 \\ 1 & -1 \\ \end{array} \right) \]

该矩阵零空间基向量为

\[x_1=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ \end{array} \right) \]

当 \(\lambda_2=2\) 时，

\[A-2I=\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{array} \right) \]

该矩阵零空间基向量为

\[x_1=\left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ \end{array} \right) \]

对比给定矩阵 \(\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right)\)和 \(\left( \begin{array}{cc} 3 & 1 \\ 1 & 3 \\ \end{array} \right)\) .

会发现，

如果已知 \(A=\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right)\) ，$Ax=\lambda x $ ,已知此时 \(A\) 的特征值和特征向量。

那么对于\(A’=\left( \begin{array}{cc} 3 & 1 \\ 1 & 3 \\ \end{array} \right)\) ， $(A+3I)x=Ax+3x=(\lambda+3) x $

矩阵 \(A\) 加上 \(3I\) ，特征值加3，特征向量不变。 特征向量 \(x\) 是两个矩阵共同的特征向量。

注意：

如果知道 \(B\) 的特征值 \(\alpha\)，\(B≠I\) ，已知 $Ax=\lambda x $ ，是否可以 通过\(Bx=\alpha x\)，知道 \(A+B\) 的特征值呢？

即 \((A+B)x=(\lambda+\alpha)x\) ?

不行，因为没有理由 \(B\) 的特征向量就是 \(x\) .。新矩阵 \(A+B\) 的特征值不等于 \((\lambda+\alpha)\)

例子2

假设一个 \(2*2\) 正交矩阵

\[Q=\left( \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right) \]

我们知道 迹 \(trace=\lambda_1+\lambda_2=0\) ，行列式为 \(detQ=\lambda_1*\lambda_2=-1\)

计算

\[det(Q-\lambda I)=\left( \begin{array}{cc} -\lambda & -1 \\ -1 & -\lambda \\ \end{array} \right)=\lambda^2+1=0 \]

解得

\[\lambda_1=i,\lambda_2=-i \]

两个特征值是虚数。且互为共轭。

复数将在这里正是进入这门课。实矩阵的特征值是有可能是复数的。

如果矩阵是对称，就不会存在复数特征值，特征值是实数。

如果越不对称，比如上例，\(Q^T\) 和 \(Q\) 是反对阵，\(Q^T=-Q\),而对称矩阵性质告诉我们，对称矩阵的转置还是原矩阵，该例子与对称性质完全相反，这种矩阵的特征值是纯虚数。这时极端情况。

中间则是介于对称和反对称之间的矩阵，部分对称，部分反对称。

例子3

给定矩阵 \(A\)

\[A=\left( \begin{array}{cc} 3 & 1 \\ 0 & 3 \\ \end{array} \right) \]

求这个矩阵的特征向量和特征值。

\[det(A-\lambda I)=\left| \begin{array}{cc} 3-\lambda & 1 \\ 0 & 3-\lambda \\ \end{array} \right|=(3-\lambda)(3-\lambda) \]

解得

\[\lambda_1=3，\lambda_2=3 \]

将 \(\lambda\) 代入，

\[(A-\lambda) x=\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{array} \right)x=0 \]

计算零空间基向量

\[x_1=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right),x_2=nothing \]

\(2*2\) 矩阵，只有一个无关的特征向量。