本节将讲解行列式的应用。
从行列式出发，又可以发现新的公式。
逆矩阵公式
公式
\(2*2\) 的逆矩阵公式
\[{\left(
\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d \\
\end{array}
\right)}^{-1}=\frac{1}{\text{ad}-\text{bc}}\left(
\begin{array}{cc}
d & -b \\
-c & a \\
\end{array}
\right)
\]
右侧第一项是行列式的倒数，第二项是原矩阵每一行的代数余子式构成的矩阵的转置，记为 \(C^{T}\) .她是原矩阵的伴随矩阵。伴随矩阵的各元素是原矩阵对应元素的代数余子式。
\(n*n\) 矩阵的逆矩阵公式
\[A^{-1}=\frac{1}{detA}C^{T}
\]
\(A\) 的行列式由 \(n\) 个元素的乘积组成；伴随矩阵个元素由 \(n-1\) 个乘积组成。
高斯-若尔当求逆法在数值计算无懈可击。
现在我们得到了逆矩阵的代数表达式，使得算法能够写成代数形式。
值得注意的是，不建议用这个公式计算，毫无疑问消元法更有利于手算或计算机处理。
同时这个式子也告诉我们，只有当行列式不等于0时，才有逆矩阵。
证明
证明逆矩阵公式成立，我们可以证明 \(AA^{-1}=I\) 成立，即证明 \(A\frac{C^{T}}{detA}=I\)。
行列式是一个数，所以我们可以将她放在等式另一边:
\[AC^{T}=(detA)I
\]
注意，右边是行列式（一个数）乘以单位阵，结果是对角矩阵，不是一个数。
将左边展开
\[\left(
\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & ... & a_{1 n} \\
a_{21} & ... & ... & ... \\
... & ... & ... & ... \\
a_{\text{n1}} & ... & ... & a_{\text{nn}} \\
\end{array}
\right) \left(
\begin{array}{cccc}
C_{11} & C_{21} & ... & C_{\text{n1}} \\
C_{12} & ... & ... & ... \\
... & ... & ... & ... \\
C_{1 n} & ... & ... & C_{\text{nn}} \\
\end{array}
\right)
\]
根据行列式的代数余子式公式
\[detA=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+...a_{in}C_{in}
\]
矩阵 \(A\) 的第 \(i\) 行乘以伴随矩阵的第 \(i\) 列，结果就是行列式 \(detA\).
故
\[\left(
\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & ... & a_{1 n} \\
a_{21} & ... & ... & ... \\
... & ... & ... & ... \\
a_{\text{n1}} & ... & ... & a_{\text{nn}} \\
\end{array}
\right) \left(
\begin{array}{cccc}
C_{11} & C_{21} & ... & C_{\text{n1}} \\
C_{12} & ... & ... & ... \\
... & ... & ... & ... \\
C_{1 n} & ... & ... & C_{\text{nn}} \\
\end{array}
\right)=
\left(
\begin{array}{cccc}
\text{detA} & ... & ... & ... \\
... & \text{detA} & ... & ... \\
... & ... & ... & ... \\
... & ... & ... & \text{detA} \\
\end{array}
\right)
\]
对角线上都是 \(detA\).
那么结果的非对角线元素等于什么呢？
某一行乘以其他行的代数余子式，结果为0.
某一行乘以其他行的代数余子式，我们还是可以看作一个行列式，结果为0，表示可能这个行列式的其中两行相等。
以 \(2*2\) 矩阵为例
利用行列式的代数余子式求解
\[{\left|
\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d \\
\end{array}
\right|}=ad+b(-c)
\]
如果第一行乘以第二行的代数余子式，则行列式等于：
\[a(-b)+b(a)=0
\]
这种情况和计算矩阵行列式有两行相等的情况一样，即
\[{\left|
\begin{array}{cc}
a & b \\
a & b \\
\end{array}
\right|}=a(b)+b(-a)=0
\]
这种情况同样适用在 \(n*n\) 矩阵。
\(A\) 的第一行，乘以最后一行的代数余子式，相当于求一个特殊矩阵的行列式，特殊矩阵的第一行和最后一行相等。
所以除了对角线上的元素，其余都是零。
\[\left(
\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & ... & a_{1 n} \\
a_{21} & ... & ... & ... \\
... & ... & ... & ... \\
a_{\text{n1}} & ... & ... & a_{\text{nn}} \\
\end{array}
\right) \left(
\begin{array}{cccc}
C_{11} & C_{21} & ... & C_{\text{n1}} \\
C_{12} & ... & ... & ... \\
... & ... & ... & ... \\
C_{1 n} & ... & ... & C_{\text{nn}} \\
\end{array}
\right)=
\left(
\begin{array}{cccc}
\text{detA} & 0 & ... & 0\\
0 & \text{detA} & ... & 0 \\
... & ... & ... & ... \\
0 & 0 & ... & \text{detA} \\
\end{array}
\right)
\]
证得左边等于右边。
克莱姆法则
克莱姆法则是线代中一个关于求解线性方程组的定理。
假设 \(Ax=b\) ,则我们可以得到方程组的解
\[x=A^{-1}x=\frac{1}{detA}C^{T}b
\]
其中，\(C^{T}b\) 是矩阵 \(A\) 的元素的代数余子式构成的矩阵，而 \(b\) 是一个向量，我们也可以把她们看成一个行列式，记为 \(detB\) .\(B\) 表示这个行列式的原矩阵。
\[x=\frac{detB}{detA}
\]
克莱姆发现 \(x\) 的每个分量可以写为：
\[x_i=\frac{detB_i}{detA}
\]
并且发现了 矩阵 \(B_i\) 的规律：
\(B_1\) 就是矩阵 \(A\) 的第一列用向量 \(b\) 代替;
\(B_2\) 就是矩阵 \(A\) 的第二列用向量 \(b\) 代替;
...
\(B_i\) 就是矩阵 \(A\) 的第 \(i\) 列用向量 \(b\) 代替。
以 \(B_1\) 为例说明
\[B_1=\left(
\begin{array}{cccc}
b_1 & a_{12} & \square & a_{1 n} \\
b_2 & a_{22} & \square & a_{2 n} \\
\square & \square & \square & \square \\
b_n & a_{\text{n2}} & \square & a_{\text{nn}} \\
\end{array}
\right)
\]
求 \(B_1\) 的行列式，利用代数余子式公式，在第一行展开
\[|B_1|=C_{11}b_1+C_{21}b_2+C_{31}b_3+...++C_{n1}b_n
\]
可以看出，这其实就是 \(C^{T}b\) 的一部分。
\(C\) 是比原来小一阶的行列式，所以 \(C\) 包含矩阵 \(A\) 的 \(n-1\) 阶元素。
这就是克莱姆法则。
注意，同逆矩阵公式一样，不建议使用她计算，如果要用这个计算方程组的解，我们就需要计算 \(n\) 个\(detB\) ,非常麻烦。
克莱姆法则的价值在于她给出了求解线性方程组的代数表达式，而不只是能进行数值运算。
体积
这个课题是通过行列式求体积。
命题是：行列式的绝对值等于一个箱子的体积。
先看 \(3*3\) 情况
矩阵的第一行对应三维空间中一个向量，她是箱子的第一条边，矩阵的第二行对应箱子的第二条边，矩阵的第三行对应箱子的第三条边。
得到箱子的三条边，就能得到整个箱子的形状——平行六面体。
箱子由三条边固定。每个面都是平行四边形。
箱子的体积等于行列式的绝对值。因为行列式有可能是负数。
\[V_{box}=|detA|
\]
证明
行列式的三性质定义了行列式，所以我们证明箱子具有三性质，那么箱子就一定等于行列式，这是很巧妙的间接证明方法。
- 性质1是讲单位阵的。假设矩阵 \(A\) 是单位阵，则箱子是一个单位立方体。我们可以先证明单位立方体的体积等于行列式的绝对值。
单位矩阵的行列式值为1，单位立方体的值也为1，假设成立，证明性子具备性质1。
如果矩阵 \(A\) 是正交矩阵\(Q\) ,她的各列都是标准正交向量。 矩阵 \(Q\) 构成的箱子，与单位阵不同在于，箱子在空间被旋转了。怎么证明 \(|Q|=±1\)
\(Q\) 具有以下性质
\[Q^TQ=I
\]
两边同时取行列式
\[\begin {align}
&det(Q^TQ)=1\\
性质9\rightarrow&|Q^T||Q|=1\\
性质10\rightarrow&|Q|^2=1
\end {align}
\]
故 \(|Q|=±1\) 。
性质1成立。
-
对于性质2是关于符号的，交换2行，很显然箱子的体积没有发生改变，我们不关心性质2。
-
那么长方体呢？
长方体的情况其实就是行乘以标量。
如果一行翻倍，体积也会翻倍。根据行列式的性质3a，可以把一行的公因数提出来，所以行列式也翻倍。
因此箱子的体积也满足行列式的性质3a。
那么性质3b呢
\[\left|
\begin{array}{cc}
a+a^{'} & b+b^{'} \\
c & d \\
\end{array}
\right|=
\left|
\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d \\
\end{array}
\right|+
\left|
\begin{array}{cc}
a^{'} & b^{'} \\
c & d \\
\end{array}
\right|
\]
我们的目标是要求体积，但对于 \(2*2\) 情况，等于求面积
求平行四边形的面积，在以前就是底乘以高，但是我们就需要去计算底和高分别是多少，计算过程中可能有根号，比较麻烦。
对于 \(2*2\) 情况，平行四边形的面积等于对应矩阵的行列式的值。
\[area \quad of \quad parallelogram={\left|
\begin{array}{cc}
a & b \\
c & d \\
\end{array}
\right|}=ad-bc
\]
我们利用坐标值，就能通过行列式求出体积和面积。
三角形的面积是平行四边形面积的一半。
公式为
\[area \quad of \quad triangle =\frac{1}{2}(ad-bc)
\]
再看三角形另一种情况，如果三角形的顶点不在原点上怎么办？
这个问题其实是让三角形面积公式一般化
\[area \quad of \quad triangle =\frac{1}{2}
\left|
\begin{array}{ccc}
x_1 & y_1 & 1 \\
x_2 & y_2 & 1 \\
x_3 & y_3 & 1 \\
\end{array}
\right|
\]
