线性代数18.行列式的性质

之前我们学习了很多长方矩阵的知识，现在我们将把注意力转向方阵，探讨行列式和特征值。

行列式的性质

方阵的行列式记为 \(det A=|A|\) 。

我们从行列式的性质开始,慢慢引出她的定义。

1. 单位矩阵的行列式值为1，即 \(detI=1\)
2. 交换矩阵的行，行列式的值的符号相反

由前两个性质可以推出，置换矩阵的行列式：

\[\text{detP}= \begin{array}{cc} \{ & \begin{array}{cc} 1 & \text{even} \\ -1 & \text{odd} \\ \end{array} \\ \end{array} \]

置换矩阵是行交换的单位阵，当单位阵交换次数为偶数（不变）时，置换矩阵的行列式为1，当单位阵交换的次数为奇数时，置换矩阵的行列式为-1

以 \(2*2\) 矩阵为例

\[\left| \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right|=1 \]

\[\left| \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right|=-1 \]

一般 \(2*2\) 的行列式，值为 \(ad-bc\) 。

\[\left| \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array} \right|=ad-bc \]

性质3分为3a和3b

3. a.保持其余 \(n-1\) 行不变，用数 \(t\) 乘以一行，\(t\) 可以提取出来

   \[\left| \begin{array}{cc} ta & tb \\ c & d \\ \end{array} \right|= t\left| \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array} \right| \]

   b.保持其余 \(n-1\) 行不变

   \[\left| \begin{array}{cc} a+a^{'} & b+b^{'} \\ c & d \\ \end{array} \right|= \left| \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array} \right|+ \left| \begin{array}{cc} a^{'} & b^{'} \\ c & d \\ \end{array} \right| \]

这两个性质是关于线性组合的，只改变一行，其余行不变。性质3同样使用在第 \(n\) 行。

注意，性质3说的是某一行的线性组合，她只能和自己线性组合，而不是与其余行或者所有行的线性组合。所以

\[det(A+B)≠detA+detB \]

从这三个性质，我们可以得到更多的性质。

4. 如果两行相等，行列式为0
   \[\left| \begin{array}{cc} a & b \\ a & b \\ \end{array} \right|=0 \]

性质4在 \(n*n\) 矩阵里面也适用。

比如在 \(7*7\) 矩阵中，两行相等，行列式为0。因为根据性质2，交换两行（交换一次），行列式取反；又因为两行相等，交换后仍然是同一个矩阵，没变，所以只有行列式为0满足条件。

5. 从行\(k\) 减去行 \(x\) 的 \(i\) 倍（消元），行列式不变。

在消元法中，矩阵\(A\) 的行列式等于矩阵 \(U\) 的行列式，即 \(detA=detU\)

证明，由性质3b我们可以对组合进行拆分

\[\left| \begin{array}{cc} a & b \\ c-ia & d-ib \\ \end{array} \right|= \left| \begin{array}{cc} a & b \\ c & d\\ \end{array} \right|+ \left| \begin{array}{cc} a & b \\ -ia & -ib \\ \end{array} \right|= \left| \begin{array}{cc} a & b \\ c & d\\ \end{array} \right|+0 \]

6. 若有一行为0，那么矩阵的行列式为0

可以用3a证明

\[\left| \begin{array}{cc} 0*a & 0*b \\ c & d \\ \end{array} \right|= 0\left| \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array} \right|= \left| \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ c & d \\ \end{array} \right|=0 \]

7. 上三角矩阵的行列式等于对角线上元素的乘积，即主元的乘积

\[|U|=\left| \begin{array}{cccc} d_1 & \square & \square & \square \\ 0 & d_2 & \square & \square \\ ... & ... & ... & \square \\ 0 & 0 & 0 & d_n \\ \end{array} \right|= d_1*d_2*...*d_n \]

我们可以通过消元得到上三角矩阵，主元的乘积就是行列式，在消元过程中如果需要换行，则需要在前面加上符号。

证明：

根据性质5，消元后行列式不变，所以我们通过消元将 \(U\) 化简为 对角矩阵

\[D=\left( \begin{array}{cccc} d_1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & d_2 & 0 & 0 \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & 0 & d_n \\ \end{array} \right) \]

计算行列式，利用性质3a，可以将每列主元提取出来,又根据性质1，单位阵行列式为1.可得

\[|D|=(d_n*...*d_2*d_1)\left| \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right|= d_1*d_2*...*d_n \]

如果需要换行，还需要在结果加上对应的正负号。

如果某主元为0，我们将得到全零行，利用性质6，行列式为0。

8. 当且仅当 \(A\) 是奇异矩阵时，\(det A=0\)；当且仅当 \(A\) 可逆，\(detA≠0\).

如果 \(A\) 是奇异矩阵，通过消元法化简为上三角矩阵后，会得到全零行，行列式为0，也可以说，矩阵不可逆就是奇异矩阵，行列式为0。如果 \(A\) 可逆，主元都不为0，行列式等于主元相乘。

9. 矩阵乘积的行列式等于各自行列式的乘积，即
   \[det(AB)=(detA)*(detB) \]

需要说明的是，她们不具有线性性质，\(det(A+B)≠(detA)+(detB)\)

例子1：

求 \(A^{-1}\) 的行列式

我们知道

\[A^{-1}A=I \]

两边同时取行列式，利用性质9分开

\[(detA^{-1})*(detA)=1 \]

所以

\[detA^{-1}=1/detA \]

利用性质9，我们还可以知道

\[detA^{2}=(detA)*(detA) \]

假设在\(n*n\) 矩阵,如果将矩阵 \(A\) 乘以2，她的行列式为

\[det(2A)=2^{n} detA \]

因为我们消元后可以提取出每一行的公因子2，所以有 \(n\) 个2.

10. 对于\(A\) 转置的行列式，等于 \(A\) 的行列式，即
    \[detA^{T}=detA \]

转置不会改变行列式的值。

在\(2*2\) 矩阵中我们可以验证这一点

\[\left| \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array} \right|= \left| \begin{array}{cc} a & c \\ b & d \\ \end{array} \right|=ad-bc \]

转置交换了行向量和列向量，根据这点，我们可以引出 全零列 的概念。所有行的性质在列上同样适用。

如果存在全零列，行列式为0。

交换两列也会改变行列式的符号。

根据性质10，行和列的性质是一样的。

证明：

\[\begin {align} &|A^T| = |A|\\ 消元\rightarrow &|U^TL^T|=|LU|\\ 性质9\rightarrow &|U^T||L^T|=|L||U|\\ \end {align} \]

根据性质7，三角矩阵的行列式都等于对角线上元素相乘，\(L、L^T\) 是对角线上都是1的三角矩阵， 所以 \(|L|=|L^T|=1\) ，\(|U|=|U^T|=d_1*d_2*...*d_n\) 。所以等式两边相等，证毕。

证明的关键在于把矩阵化简为三角矩阵，再化简为对角阵。