线性代数12.图和网络

本节将讲述线性代数的应用。离散数学称之为“图”。

图

图包含结点和边。

例如：

我们将 \(n=4\) ,表示4个结点。 \(m=5\)，表示5条边。圆圈的数字是每条边的编号。箭头的方向表示参考方向，可以看作电流，根据参考方向判断电流的正负。与箭头同向为正，反之为负。

通过构造一个矩阵来解析这个图的含义。这个矩阵称为关联矩阵。

边\(1、2、3\)构成一个回路，可以看出，前三行线性相关（基尔霍夫电压定律）。所以回路对应的行就意味着线性相关。

需要注意的是，这里“回路”只考虑“小圈”，即这个例子只有两个回路：

1. 边1、2、3构成的回路
2. 边3、4、5构成的回路

不考虑边1、2、5、4构成的回路.

这个矩阵描述了该电路的拓扑结构。

零空间

实际意义：

如果将\(x=x_1、x_2、x_3、x_4\) 作为结点电势，可以通过矩阵 \(A\) 算出5条边上的电势差， 即\(x_2-x_1、 x_3-x_2、 x_3-x_1 、 x_4-x_1、 x_4-x_3\) 五个分量。

\[\text{Ax}=\left( \begin{array}{cccc} -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} x_2-x_1 \\ x_3-x_2 \\ x_3-x_1 \\ x_4-x_1 \\ x_4-x_3 \\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} \right) \]

将 \(A\) 乘以结点电势 \(x\) ,可以得到各边的电势差。电势差什么时候全为0？这就需要求解零空间。

可以求出

\[x=c \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array} \right) \]

其中，\(c\) 为任意常数。所以零空间是一维的。表示只有当结点等电势的时候，全部电势差才为0。

（mathematica里可以通过MatrixRank指令直接求出矩阵的秩）

只要确定了一点电势，其他点电势也可以求出来。将结点4接地，这意味着最后一列不起任何作用。而前三列线性无关。（实际上任意三列线性无关，任意三个结点的电势线性无关，剩下那个结点通常把她接地。）

矩阵 \(A\) 的秩为3。

左零空间

再看看 \(A\) 转置的零空间 \(N(A^T)\)。

\[A^Ty=0 \]

由上面计算，可知 \(N(A^T)\) 是2维的。 \(N(A^T)\) 的维数公式为 \(m-r\) 。\(A^T\) 是 \(n*m\) 矩阵。

\[A^Ty=\left( \begin{array}{ccccc} -1 & 0 & -1 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4 \\ y_5 \\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} \right) \]

\(A^Ty\) 的实际意义是什么？

假设 矩阵 $y=\left(
\begin{array}{c}
y_1 \
y_2 \
y_3 \
y_4 \
y_5 \
\end{array}
\right) $ 代表各边上的电流值，电流和电势差服从欧姆定律，所以有 \(y=Cx\)，电流是电势差的倍数，这个数值是电导（电阻的倒数）。电势的改变产生电流，欧姆定律告诉我们产生了多少电流。

\(A^Ty=0\) 的实际含义是，她代表了基尔霍夫电流定律。结点上电流的流入流出和为零，流入等于流出。

\[\left( \begin{array}{c} -y_1-y_3-y_4 \\ y_1-y_2 \\ y_2+y_3-y_5 \\ y_2+y_3-y_5 \\ y_4+y_5 \\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} \right) \]

例如方程 \(-y_1-y_3-y_4=0\) ,代表结点1上电流和为0.

我们可以直接观察回路电流情况（根据结点合电流为0）得出左零空间的一组基：

\[\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} \right),\left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \\ 1 \\ \end{array} \right) \]

行空间

\[A^T=\left( \begin{array}{ccccc} -1 & 0 & -1 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ \end{array} \right) \]

从前面可知，前三列线性相关，\(A^T\) 主列可以选列1、列2、列4.她们分别对应电路网络的边1、边2和边4.

没有回路的图，我们叫“树（tree）”

维度公式的意义

\[\dim[N (A^T)] =m-r \]

我们可以写成

\[\#loop=\#edge-(\#nodes-1) \]

\(m-r\)表示为#loop 回路数量 ; \(m\)表示#edge表示边数 ; \(r\) 可以表示为#nodes表示结点数减1.

移位：

\[\#nodes-\#edge+\#loop=1 \]

结点想象成零维，图上的点，边想象成一维，她们连接着各点，回路想象成二维，是一个区域。

此公式对任意的图都成立。这就是欧拉公式。

我们可以用线性代数证明欧拉公式，欧拉公式是任何图中都具有的拓扑性质。

联系

如果考虑外部电源影响，假设加入一个电流源 \(f\)，则结点电流可以表示为

\[A^Ty=f \]

结合前面分析，

将电势差记为 \(e\) 通过 \(e=Ax\) 得到电势差，

电势差产生电流，通过 \(y=Ce\) 计算出来，（C是电导）

电流满足KCL，得到 \(A^Ty=f\) .

我们可以得到平衡公式

\[A^TCAx=f \]

这是应用数学中最基本方程。其中， \(A^T.A\) 我们可以得到对称矩阵。