线性代数10.四个基本子空间

四种基本子空间

这节课我们将研究四种基本子空间及其关系。

假设有 \(m*n\) 矩阵 \(A\)

四种基本子空间：

1）列空间 \(C(A)\)

在 \(R^m\) 空间，因为列向量是 \(m\) 维的

2）零空间 \(N(A)\)

在 \(R^n\) 空间，因为她是 \(Ax=0\) 的解，\(x\) 是 \(n\) 维向量

3）行空间 \(C(A^{T})\)

矩阵 \(A\) 所有行的线性组合，将矩阵转置，我们就能像以前像列空间一样处理，即变成 \(A\) 转置的列的所有的线性组合。

在 \(R^n\) 空间，因为 \(A^T\) 列向量是 \(n\) 维向量

4）\(A\) 转置的零空间，记为 \(N（A^T）\)，通常叫做左零空间，

在 \(R^m\) 空间，因为她是 \(A^Tx=0\) 的解，\(x\) 是 \(m\) 维向量

理解这些空间，我们需要解决两个问题：

1）她们各自的基是什么？

2）她们是几维空间？

列空间

假设有 \(m*n\) 矩阵 \(A\) ，矩阵的秩就是维数，就是主列的个数。

行空间的维数

行空间的维数也是 \(r\) 。

性质：

行空间和列空间维数相等 。

举例

\[A=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 8 \\ \end{array} \right) \]

从行空间角度看，很明显主行可以是 行1和行3，秩为2，行空间是个二维子空间。

根据性质，列空间也是2维。

零空间的维数

零空间维数为 \(n-r\) ,就是自由变量的个数。

特殊解可以构成零空间的一组基。

• 行空间和零空间都在 \(R^n\) ,行空间是 \(r\) 维，零空间是 \(n-r\) 维，两个加起来正好是 \(n\) ，也就是矩阵 \(A\) 的列的数目

类似于，有 \(n\) 个变量，\(r\) 个主变量， \(n-r\) 个是自由变量，加起来是 \(n\) .

左零空间的维数

左零空间的维数是 \(m-r\)

• 列空间和零空间都在 \(R^m\) ,列空间是 \(r\) 维，零空间是 $ m-r$ 维，两个加起来正好是 \(m\) ，也就是矩阵 \(A^T\) 的列的数目。

所以两个结论其实是一样的，两个维度加起来都等于列的数目。只不过 \(A^T\) 有 \(m\) 列，\(A\) 有 \(n\) 列。

列空间的基

前面我们已经知道，矩阵的主列可以构成列空间的一组基，

行空间的基

假设

\[A=\left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \\ \end{array} \right) \]

主列是列1和列2

我们对她进行消元：

\[\left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \\ \end{array} \right)\rightarrow \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right)=R \]

注意，\(R\) 的列空间不等于 \(A\) 的列空间。例如 \(\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array} \right)\) 显然再 \(A\) 里面，但不在 \(R\) 里面。

• 初等行变换不会改变行空间，列空间发生了改变。

消元属于初等行变换，初等行变换包含三种类型：

1. 某一行，乘以一个非零倍数
2. 某一行，乘以一个非零倍数，加到另一行（列）
3. 某两行，互换

初等行变换不会改变行空间，

1. 行向量乘以倍数只是对向量进行缩放，
2. 行向量乘以一个倍数，加到另一行，显然结果是原来两行的线性运算，

前面说过，向量空间满足加法和数乘封闭性。所以进行线性变换后结果仍然在行空间中。

下面是截取知乎两个理解：

https://www.zhihu.com/question/66712234

• 上面两种情况都不会改变张成行空间的基，也就是保证行空间不变，零空间不变。

• 因为初等行变换都是线性变换，我举一个变换的例子好了。
  假设有两个行向量分别为a和b，且我现在做了个行变换比如把a变成a+mb（m是常数），我们来讨论a+mb和b的关系，因为mb和b肯定成线性关系，所以a+mb和b的关系就等价于a和b的关系，所以它俩还是该相关就相关，该不相关就不相关。
  其他的两种变换同样也可以证明。

• 行向量a1，a2，……an张成行空间。里面的任意向量都可表示为a1，a2……an的线性组合。对行向量的任意初等变换，变换后所得的行向量仍在行空间中。所以行空间没变，但列空间变了。若对列向量做初等变换，则列空间没变，行空间变。

所以 \(A\) 和 \(R\) 的行空间一样， \(R\) 行空间的基就是 \(A\) 行空间的基。

\(R\) 行空间的基就是前两行。

结论：

对于 \(A、R\) ，基都是 \(R\) 的前 \(r\) 行。

注意，不是 \(A\) 的前 \(r\) 行，因为这不一定成立，行变换不改变行空间，但可能改变基，该例子就不改变。

所以行空间的一组基就是 \(\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ \end{array} \right)\) .

左零空间的基

为了和零空间区分，设为 \(A^Ty=0\) ,

左零空间和零空间的区别：

1. 求矩阵的左零空间,就是求一个让矩阵的行产生零行向量的行组合.
2. 求矩阵的零空间,就是求一个让矩阵的列产生零列向量的列组合.

为什么叫左零空间？

因为这里如果不矩阵 \(A^T\) 转置，式子中 \(y\) 就在左边。

两边转置，两矩阵相乘转置后需要反顺序相乘：

\[y^T .A^{TT}=y^T .A=0 \]

\(y^T\) 对 \(A\) 左乘，所以称为左零空间.

但习惯上保留 \(A^T.y=0\) 形式.

怎么求她的基?

之前我们求解零空间是通过 \(A\) 化简为 \(R\) ,也许这些步骤可以揭示左零空间的秘密.

重新思考一下步骤,乘以一个什么矩阵能够使 \(A\) 变成 \(R\) ,

我们可以使用高斯-若尔当消元法,

\[E[A_{m*n} \quad I_{m *m}]=[R_{m* n} \quad E_{m *m}] \]

所有引入的消元可以合并为左边的一个矩阵 \(E\) ,\(E\) 记录着对矩阵 \(A\) 所有的行初等变换.我们只需要在 \(A\) 后面加上单位阵,消元后就可以把它求出来,只不过之前我们用她来求可逆方阵的逆,可逆方阵消元后就是 \(I\) ，这时 \(E=A^{-1}\)

现在, \(E.A=R\) ,因为 \(A\) 不可逆,她是长方形矩阵.

我们在 \(A\) 后面加上 单位阵,可以求出 \(E\) :

\[\left( \begin{array}{ccc} -1 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \]

可以通过 \(E.A=R\) 检验她.

我们知道左零空间维数是 \(m-r\) ,所以这里 左零空间是一维空间,左零空间的基只有一个向量,说明存在一个线性组合使得 \(A\) 三行的结果为0,这个线性组合就是左零空间的基.

该例子这个向量就是等效消元矩阵 \(E\) 的最后一行.

左乘 \(E\) 最后一行 ,就是一个让矩阵 \(A\) 的行的线性组合为0的向量.

因为 \(E\) 是对 \(A\) 所有初等行变换的等效.

所以求左零空间的基,无法直接从 \(R\) 看出来,必须先和 \(E\) 联系起来 .