线性代数09.线性相关性，基，维数

本篇为MIT公开课——线性代数 笔记。

假设有一个\(m*n\)矩阵 \(A\) ，\(n>m\) ,并准备求解 \(Ax=0\)。未知数个数大于方程个数。前面已经学过这个算法。

线性相关性

定义：

除了系数全部为零，如果不存在结果为零向量的组合，则向量组线性无关。即

\[c_1x_1+c_2x_2+c_3x_3+...+c_nx_n≠0\,\,\,,\,\,except\,\,\, all\,\,\, c=0 \]

这个定义并不是只在矩阵里面，向量里面同样适用，在矩阵里面，我们不说矩阵线性相关/无关，而是说矩阵里面的向量组线性相关/无关。

举例：

假设有矩阵 \(A\) ，她的列向量为 \(v_1,v_2,v_3...v_n\) ：

1）如果列向量组线性无关，那么 \(Ax=0\) 的零空间只有零向量，秩 \(rank=n\) ，没有自由变量

2）如果列向量组线性相关，那么\(Ax=0\) 的零空间除了零向量，存在非零向量，秩 \(rank<n\) ，有自由变量。

张成空间

定义：设有向量组 \(v_1,v_2,v_3...v_n\) ，这个向量组所有的线性组合称为张成一个空间。

与矩阵列空间的定义一样，矩阵各列所有的线性组合构成列空间。

基

向量空间中的一组"基" 是指这一个向量组 \(v_1,v_2,v_3...v_d\) 同时具有这两个性质：

1）她们都是线性无关；

2）她们张成整个空间。

基具有重要意义，当需要确定一个子空间的时候，只需要确定子空间的基即可，因为她们所有的线性组合就是该子空间。

举例：

在 \(R^3\) 中：

一组基是 \(\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} \right)，\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array} \right)，\left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array} \right)\) ，她不是唯一一组基，但足够了。

她们构成一个矩阵的列，可以表示为一个单位阵。单位阵的零空间只有零向量。

另一组 \(\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \\ \end{array} \right)\),\(\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \\ \end{array} \right)\),她不是 \(R^3\) 的基，但她满足线性无关，是\(R^3\) 中一个平面的基。

这些列构成的矩阵 \(A\)，必须满足可逆，因为可逆意味着，不存在一个非零矩阵，使得 \(Ax=0\)，零空间只有零向量，满足线性无关。

也可以看出，虽然基有很多组，但对于\(R^n\) 空间，基向量个数就是 \(n\) 个。对于给定空间，基向量的个数相等。

维数

基向量个数即为空间的维数。

维数定理

矩阵 \(A\)

\[\left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \\ \end{array} \right) \]

矩阵 \(A\) 列的所有线性组合可以构成列空间 \(C(A)\).

但她们不是 列空间 \(C(A)\) 的基，因为前三列线性相关，零空间矩阵存在非零向量，比如 \(\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \\ \end{array} \right)\) .

我们可以找出 \(C(A)\) 的一组基，最明显的就是 \(\left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ \end{array} \right)\) .她们就是主列，主列可以构成列空间最明显的一组基。

\(C(A)\) 的秩为2.

定理：

\[rank(A)=pivot\quad columns=dimension \quad of\quad C(A) \]

矩阵秩的个数就是矩阵张成列空间的维数。

那么零空间的维数是多少？

定理：

\[dim\quad N(A)=free\quad variables=n-r \]

零空间的维数是自由变量的个数。

这两个定理就是维数定理。