线性代数08.Ax=0：可解性和解的结构

本篇为MIT公开课——线性代数 笔记。

这节课将转入求解 \(Ax=b\) ,可能有解也可能无解，如果有解，就要确定是唯一解还是多解，然后求出所有解。

举例

以上节课例子为例：

\[x_{1}+2x_{2}+2x_{3}+2x_{4}=b_{1}\\ 2x_{1}+4x_{2}+6x_{3}+8x_{4}=b_{2}\\ 3x_{1}+6x_{2}+8x_{3}+10x_{4}=b_{3}\\ \]

写成矩阵形式，对增广矩阵 \([A\, b]\) 消元。

\[\left( \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 2 & 2 & b_1 \\ 2 & 4 & 6 & 8 & b_2 \\ 3 & 6 & 8 & 10 & b_3 \\ \end{array} \right)\rightarrow \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 2 & 2 & b_1 \\ 0 & 0 & 2 & 4 & b_2-b_1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -b_1-b_2+b_3 \\ \end{array} \right) \]

可解性

消元后方程3，有

\[0=b_3-b_2-b_1 \]

这就是有解的条件。满足 \(b_1+b_2=b_3\) .

因为行三是前两行的线性组合。

\(Ax=0\) 有解的条件：\(b\) 必须是 \(A\) 各列的线性组合，即\(b\) 属于 \(C(A)\).

该例子用另一种方式描述。就是：\(A\) 各行的线性组合得到零行，右侧向量同样的组合必须也是零。

算法

假设\(b=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ 6 \\ \end{array} \right)\) ,则有：

\[\left( \begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \]

第一步：求一个特解 \(x_p\)。

方法：

1）将所有自由变量设为0，因为自由变量可以任意取值，设为0方便计算。

2)然后解出主变量。

\[x=\left( \begin{array}{c} x_1 \\ 0 \\ x_3 \\ 0 \\ \end{array} \right) \]

回代

\[x_1+2 x_3=1\\ 2 x_3=3 \]

解得特解为：

\[x_p=\left( \begin{array}{c} -2 \\ 0 \\ 3/2 \\ 0 \\ \end{array} \right) \]

第二步：求出 \(Ax=0\) 零空间 \(x_n\)，将特解与零空间相加就是 \(Ax=b\) 所有的解。即：

\[x=x_p+x_n \]

可以求得：

\[x=\left( \begin{array}{c} -2 \\ 0 \\ 3/2 \\ 0 \\ \end{array} \right)+c \left( \begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} \right)+d \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \\ \end{array} \right) \]

完整解是\(Ax=0\) 的零空间沿着一个特解方向平移的结果。

注意完整解不是向量空间。

满秩

对于 \(m*n\) 矩阵 \(A\) ,秩为 \(r\) ,存在

\[r≤m，r≤n \]

满秩分别对行列有两种情况。

列满秩

列满秩表示为 \(r=n\) 。

\(n\) 个主变量，0个自由变量。 零空间 \(N(A)\) 只有一个零向量，因为没有自由变量可以赋值。

\(Ax=b\) 唯一解。即 \(x=x_p\) .

此时只有0或1个解。

举例

上下消元后除以主元后化1：

\[A=\left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 2 & 1 \\ 6 & 1 \\ 5 & 1 \\ \end{array} \right)\rightarrow \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{array} \right)=R \]

零空间除了0外，没有其他使得列的线性组和为0.所以\(Ax=b\) 的所有解的结构只有特解。

\(Ax=b\) 并不总是有解，只有 \(b\) 是\(A\) 各列的线性组合时才有解。

行满秩

行满秩表示为 \(r=m\) 。

可解性，只要满足消元时不会出现零行即可，因为

\(Ax=b\) 对于所有的 \(b\) 都有解。

行满秩，有 \(m\) 个主变量，\(n-m\) 个自由变量。举例

\[A=\left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 6 & 5 \\ 3 & 1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right)\rightarrow \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & -\frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \\ 0 & 1 & \frac{17}{5} & \frac{14}{5} \\ \end{array} \right)=R \]

\(\left( \begin{array}{cc} -\frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \\ \frac{17}{5} & \frac{14}{5} \\ \end{array} \right)\) 即为 \(-F\) ,将构成零空间矩阵。

满秩方阵

满秩方阵表示为 \(r=m=n\) 。这种情况一定出现在方阵上。

\[A=\left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 1 \\ \end{array} \right)\rightarrow R=I \]

\(A\) 可逆。\(Ax=0\) 零空间 只有零向量。\(Ax=b\) 对于所有的 \(b\) 都有解。但是 \(x\) 唯一解。

总结

矩阵的秩决定了方程组解的数目。

1.r=m=n

\(R=I\),

\(Ax=b\) 唯一解。

2.r=n<m

\(R=\left( \begin{array}{c} I \\ 0 \\ \end{array} \right)\)

\(Ax=b\) 有0或者1个解。

3.r=m<n

\(R=(IF)\) ,\(I\) 可能都在前面，也可能\(I\) 和 \(F\) 相间交叉出现。

\(Ax=b\) 无穷多解。因为总有零空间处理。

3.r<m,r<n

\(R=\left( \begin{array}{c} IF \\ 00 \\ \end{array} \right)\)

\(Ax=b\) 要么无解，因为有些 \(b\) 不满足 “0=0”，要么无穷解。