线性代数06.列空间和零空间

本篇为MIT公开课——线性代数 笔记。

向量空间

满足条件

向量空间满足条件：该集合中任意两个向量的线性组合，还在这个集合内，这个集合就是向量空间。

举例

1.在 \(R^{3}\) 空间中，我们取两个子空间，一个过零点平面 \(P\) 和一条过零点直线 \(L\) 。我们取他们的并集，\(P∪L\)，这个并集是不是子空间？

不是。因为我们在平面和直线中各取一个向量，加法不封闭，结果不在并集上。

2.我们在第一问的基础上，做交集 \(P∩L\) 。她是子空间吗？

是。因为她们的交集就是原点。原点肯定是子空间。

推广

如果不是上例中特定平面和直线的情况，推广到任意两个子空间的交集，她们的交集是子空间吗？

假设有子空间 \(S\) 和 \(T\) , 她们的交集 \(S∩T\) 是子空间。

证明：

子空间需要满足加法和数乘封闭性。

在 \(S∩T\) 任取两个向量 \(v、w\) ，由于 \(v、w\) 都属于 \(S\) ,那么 \(v+w\) 属于 \(S\) ,同理，由于 \(v、w\) 都属于 \(T\) ,那么 \(v+w\) 属于 \(T\) , 所以\(v+w\) 结果在并集里面，满足加法封闭性。

在交集中任取一向量，乘以标量后，肯定还属于\(S\) 和 \(T\) 。

所以 \(S∩T\) 是子空间。

列空间

举例：

\[A=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 4 \\ 4 & 1 & 5 \\ \end{array} \right) \]

\(A\) 的列空间是\(R^{4}\) 的子空间。记作 \(C(A)\) .

空间与方程的联系

\(C(A)\) 由所有列的线性组合构成。3个列向量的线性空间不可能充满整个4维空间，它是几维的？

我们联系线性方程来理解：

对于方程 \(A x=b\) ,对于任意的 右侧向量 \(b\) 都有解吗？

不是，因为对于该例，有 \(4\) 个未知量，却只有 \(3\) 个方程组.

我们可以写出来：

\[\text{Ax}=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 4 \\ 4 & 1 & 5 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ b_4 \\ \end{array} \right) \]

我们是假定 \(x\) 已知，来求解 \(b\) .

所以，这里 \(3\) 方程 \(4\) 未知数，不可能对所有可能都有解的。

什么右侧向量能让方程有解？

\(b\) 是 \(A\) 的线性组合时才能解出 \(x\) .这时 \(b\) 在 \(A\) 的列空间内。

结论：

\(A x=b\) 有解，当且仅当 \(b\) 属于 \(A\) 的列空间。

所以列空间优点就是能告诉我们何时有解。

线性无关

如果将 \(A\) 中三列进行线性组合，是否每一列都对组合有所贡献？

不是。第三列可以由第一列加第二列相加得到，也就是说，第三列在第一列和第二列的线性组合

里面。 第三列对向量空间毫无贡献。

所以这三列不是线性无关。列三可以由列一和列二的线性组合取代。

我们把前两列称为 “主列” 。

当然也可以选后两列，但 主列选取一般优先考虑考前的线性无关向量。

因此这里 \(A\) 的列的所有线性组合，是 \(R^{4}\) 中的二维子空间。

零空间

概念

零空间是一种完全不同的子空间。

举例：

\[A=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 4 \\ 4 & 1 & 5 \\ \end{array} \right) \]

零空间就是方程 \(Ax=0\) 的所有解 \(x\) 的集合。即 \(b\) =0 情况下。

\[\text{Ax}=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 4 \\ 4 & 1 & 5 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} \right) \]

前面关注的是 \(b\) ,我们现在关注的是 \(x\) .

\(x\) 有三个分量，所以她属于 \(R^{3}\) 。

求解零空间和列空间一般也都是用消元法，不过这个例子也能一眼看出来：

\[x=C\left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 1 \\ -1 \\ \end{array} \right) \]

\(C\) 可以取任意数。

因此 这个零空间 就是 \(R^{3}\) 中过零点的直线。

检验

检验：\(Ax=0\) 的解构成一个子空间。

1）任取两个向量，使得 \(Av=0\)，\(Aw=0\)。

那么 \(A(v+w)=0\).

2）如果 \(Av=0\),那么 \(A(12v)=0\),我们可以提取出标量，\(12Av=0\)。

总结

1）向量空间的关键是一定要包含 零向量，即原点。

2）列空间和零空间是构建子空间的两种办法。 列空间是从几个列向量的线性组合来构建，零空间通过方程组，让 \(x\) 满足特定条件来获得。