线性代数05.转置、置换、向量空间

本篇为MIT公开课——线性代数 笔记。

置换矩阵

置换矩阵我们记作 \(P\) ，它是行重新排列了的单位矩阵，用于行交换。

上一节课我们进行 \(LU\) 分解时，限定了不需要行交换（消元过程，主元不会是0）,但解除此限制，\(LU\) 分解该如何表示？

加上行交换,对任意可逆矩阵 \(A\) 都有：

\[PA=LU \]

置换矩阵的数目

对于一个 \(n*n\) 矩阵，置换矩阵共有：

\[count=n!=n*(n-1)*(n-2)*...*2*1 \]

\(n!\) 为 \(n\) 的阶乘。

置换矩阵的性质

置换矩阵的逆等于其转置，即

\[P^{T}.P=I \]

转置矩阵

转置矩阵我们记作 \(T\) .

用符号表示转置矩阵，就是\(A\) 的转置中 \(i\) 行 \(j\) 列的元素是什么？

\[(A^{T})_{ij}=A_{ji} \]

行元素和列元素互换。

对称矩阵

对称矩阵表示，转置后，矩阵没有变化。即

\[A^{T}=A \]

对角线两边元素对称，例如：

\[\left( \begin{array}{ccc} 3 & 1 & 7 \\ 1 & 2 & 9 \\ 7 & 9 & 4 \\ \end{array} \right) \]

它具有转置不变性质。

构建

可以通过长方矩阵 \(R\) 与其转置 $R^{T} $相乘得到对称矩阵。

\[\left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 2 & 3 \\ 4 & 1 \\ \end{array} \right).\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 4 \\ 3 & 3 & 1 \\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc} 10 & 11 & 7 \\ 11 & 13 & 11 \\ 7 & 11 & 17 \\ \end{array} \right) \]

因为我们可以发现，在用点乘过程中，有一些是重复的，比如行一点乘列二，与行二点乘列一，是一样的。

证明：

\[(R.R^{T})^{T}=R^{T}.(R^{T})^{T}=R^{T}.R \]

注意矩阵乘积的转置，结果反顺序相乘。

因为矩阵乘法，\(m*n\) 乘以 \(n*p\) 矩阵，结果是 \(m*p\) 矩阵，转置后就是 \(p*m\) 矩阵，所以，要得到相同的结果，就是 \(p*n\) 乘以 \(n*m\) 矩阵 ,即原来两个矩阵各自转置后，反顺序相乘。

向量空间

向量必须具备的运算包括加法和数乘。

”空间“表示很多向量的集合。但并不是任意组合的向量都能称为空间，空间必须满足一定的规则，即该空间内的向量通过加法和数乘进行线性组合后结果还在该集合内。

例子：

\(R^{2}\) 空间

\(R\) 表示我们讨论的是实数，并且该向量用两个实数表示。例如

\[\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ \end{array} \right),\left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \end{array} \right) ... \]

竖着写其实只是为了区分几何上的点的表示方法，然后用方括号表示（只是我用mathematica软件里面就用这种表示方法，我也就沿用了）。

他们通过 加法和数乘 进行线性组合后，结果还是包含在 \(R^{2}\) 空间内。

从几何上可以把 \(R^{2}\) 看作是整个 \(x-y\) 平面，但这里需要把它看成所有二维向量所组成的空间。

向量空间一定要有 0 向量（原点），因为其他非0向量通过任意数乘后的结果必须包含在该空间内，数乘项当然包括0，也可以从某个非0向量加上其相反方向和向量，得到0向量来证明，如果不满足，该集合就不是向量空间。

\(R^{3}\) 空间

\(R^{3}\) 是所有三维实向量组成的向量空间。

例如：0也是一个分量

\[\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 0 \\ \end{array} \right)... \]

\(R^{n}\) 空间

\(R^{n}\) 空间是所有 \(n\) 维实向量组成的向量空间。

非向量空间

例如：

在 \(R^{2}\) 中只取第一象限，

1）任取两个向量，进行加法，由于两个向量元素都是正实数，相加还是在该象限中。

2）任取一个向量数乘，发现乘以负数，就不在第一象限中。

所以它不是向量时间。对于加法和乘法不存在封闭性。

总的来说，就是对线性组合存在封闭性。

子空间

例如：

\(R^{2}\) 的子空间

\(R^{2}\) 的向量子空间有：

1）\(R^{2}\) 本身

2）过原点的一条直线

3）只有 0 向量

\(R^{3}\) 的子空间

\(R^{2}\)的向量子空间有：

1）\(R^{3}\) 本身

3）只有 0 向量

2）过原点的一条直线

3）过原点的一个平面

构建

实际情况中是怎么构建子空间的呢？

举例：

\[A=\left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 2 & 3 \\ 4 & 1 \\ \end{array} \right) \]

这两个列向量在 \(R^{3}\) 空间内，这两个列向量的线性组合的所有可能就构成了 这两个向量张成的子空间。我们把这个子空间记作 \(C(A)\) ,\(C\) 表示 ”column“ 列。

在该例子中，两个列向量 所有的线性组合 就构成了一个平面 。

根据这个我们可以推论：k个n维向量最多张成n维空间中的k维子空间。