线性代数03.矩阵的乘法和逆

本篇为MIT公开课——线性代数 笔记。

矩阵乘法的运算规则

1.行乘列

乘法一般性法则:行乘列得到一个数

假设有两个矩阵 \(A、B\) ,并且我们让 \(A*B=C\), 可以求得矩阵 \(C\)\(i\)\(j\) 列元素:

\[C_{\text{ij}}=( \text{row$\_$i}\ \text{at}\ A) ( \text{column$\_$j}\ \text{at}\ B) \]

即矩阵 \(A\)\(i\) 行点乘以矩阵 \(B\) 中的 \(j\) 列,就是矩阵 \(C\)\(i\)\(j\) 列的元素。

注意是 “行*列”。

例如

\[A=\left( \begin{array}{cccc} \square & \square & \square & \square \\ \square & \square & \square & \square \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots \\ \square & \square & \square & \square \\ \square & \square & \square & \square \\ \end{array} \right) \]

\[B=\left( \begin{array}{ccccc} \square & \square & \square & b_{14} & \square \\ \square & \square & \square & b_{24} & \square \\ \square & \square & \square & b_{34} & \square \\ \square & \square & \square & \cdots & \square \\ \end{array} \right) \]

则 矩阵 \(C\) 中 第3行4列元素为:

\[\begin{align} C_{34}&=a_{31} b_{14}+a_{32} b_{24}+a_{33} b_{34}+\cdots \text{}+a_{3 n} b_{\text{n4}}\\&=\sum _{k=1}^n a_{3 k} b_{\text{k4}} \end{align} \]

前提条件是矩阵 \(A\) 的总列数 必须和矩阵 \(B\) 中的总行数相等。

假设矩阵 \(A\)\(m*n\) 矩阵,矩阵 \(B\)\(n*p\) 矩阵, 那么 矩阵 \(C=A*B\), 矩阵 \(C\)\(m*p\) 矩阵。

其实很好理解,原来 矩阵\(A\) 的一行与矩阵 \(B\) 的一列的点乘,可以得到矩阵\(C\) 中的一个元素,那么 \(m\) 行乘以 \(p\) 列就可以得到 \(m*p\) 个元素,所以矩阵 \(C\)\(m*p\) 矩阵。

2.矩阵列的线性组合

举例:

\[\left( \begin{array}{ccc} \square & \square & \cdots \\ \square & \square & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} \square & \square & \cdots \\ \square & \square & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc} \square & \square & \cdots \\ \square & \square & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ \end{array} \right) \]

\[A*B=C \]

矩阵 \(A\) 的所有列乘以 \(B\) 的列1得到矩阵 \(C\) 的列1,矩阵 \(A\) 乘以 \(B\) 的列2得到矩阵 \(C\) 的列2....

将矩阵乘法考虑为矩阵乘以向量,矩阵 \(B\) 可以看成 p 个单独的列向量,只是这里排在一起。用矩阵 \(A\) 乘以每个列向量,相应得到 矩阵 \(C\) 的各列。

矩阵 \(C\) 中的各列,是矩阵 \(A\) 中各列的线性组合,矩阵 \(B\) 表示是怎么样的线性组合。

3.矩阵行的线性组合

\[\left( \begin{array}{ccc} \square & \square & \cdots \\ \square & \square & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} \square & \square & \cdots \\ \square & \square & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc} \square & \square & \cdots \\ \square & \square & \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ \end{array} \right) \]

\[A*B=C \]

同样的例子,我们从矩阵行的角度看,可以看成矩阵 \(A\) 的每一行乘以矩阵 \(B\) 所有行,可以得到相应矩阵\(C\) 的每一行。

比如矩阵 \(A\) 的第一行乘以矩阵\(B\) 的所有行,可以得到矩阵 C的第一行。

矩阵 \(C\) 中的各行,是矩阵 \(B\) 中各行的线性组合,矩阵 \(A\) 表示是怎么样的线性组合。

4.列乘行

如果用矩阵 \(A\) 一列乘以矩阵 \(B\) 的一行,将得到一个完整的矩阵。

例如:矩阵 \(A\)\(m*1\) ,矩阵\(B\)\(1*p\)

\[\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 4 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1 & 6 \\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} 2 & 12 \\ 3 & 18 \\ 4 & 24 \\ \end{array} \right) \]

延申

\[\left( \begin{array}{cc} 2 & 7 \\ 3 & 8 \\ 4 & 9 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1 & 6 \\ 0 & 0 \\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 4 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} 1 & 6 \\ \end{array} \right) +\left( \begin{array}{c} 7 \\ 8 \\ 9 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ \end{array} \right) \]

列一乘以行一,列二乘以行二,然后相加。

5.分块乘法

我们还可以将矩阵切割成块,对块进行乘法。

例如:我们将方阵 \(A\) 切割成4份,方阵 \(B\) 切割成 4份。

\[\left( \begin{array}{cc} A_1 & A_2 \\ A_3 & A_4 \\ \end{array} \right).\left( \begin{array}{cc} B_1 & B_2 \\ B_3 & B_4 \\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} A_1 B_1+A_2 B_3 & \cdots \\ \cdots & \cdots \\ \end{array} \right) \]

逆矩阵

矩阵的逆,不一定存在。

假设矩阵 \(A\) 可逆,那么存在一个逆矩阵,我们记为 \(A^{-1}\),使得

\[A^{-1}*A=I \]

\(I\) 是单位矩阵。

注意这里只是左乘,如果 \(A\) 是方阵,就存在左乘等于右乘,即

\[A^{-1}*A=A*A^{-1}=I \]

但如果是非方阵,左乘就不等于右乘。

逆不存在的情况

举例:

\[\left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 2 & 6 \\ \end{array} \right) \]

理由阐述可以从以下不同角度:

1)这个矩阵由于列向量在同一条直线上,所以他们的线性组合被限定在这条直线上,不存在某个逆矩阵,使得他们相乘后结果为单位矩阵。

2)从行列式角度,取行列式结果为0(后面学)

3)假设存在某个非零矩阵 \(X\) ,使得

\[A*X=0 \]

那么 \(A\) 就没有逆矩阵。

这个例子中,我们就可以找到一个 \(X\) ,如

\[\left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 2 & 6 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 3 \\ -1 \\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \end{array} \right) \]

我们可以用反证法证明:假设 \(A\) 存在逆矩阵,那么存在

\[A^{-1}*A=I \]

\[A^{-1}*A*X=0 \]

\[X=0 \]

很明显,和前面 \(X\) 是非0矩阵矛盾。

结论:不可逆矩阵的列能通过线性组合得到0.

回归逆存在情况

再假设一个可逆矩阵 \(A\),使得

\[\left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 2 & 7 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} a & c \\ b & d \\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right) \]

看成列的线性组合,就是求解两个线性方程组,

求解我们可以用“高斯-若尔当”,它能同时处理两个方程组

\[\left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 2 & 7 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} a \\ b \\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right)\\ \left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 2 & 7 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} c \\ d \\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ \end{array} \right) \]

利用“高斯-若尔当”思想一起计算,同时考虑系数矩阵和两个右侧向量,写出增广矩阵,然后对其消元

\[\left( \begin{array}{cccc} 1 & 3 & 1 & 0 \\ 2 & 7 & 0 & 1 \\ \end{array} \right)\rightarrow \left( \begin{array}{cccc} 1 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ \end{array} \right)\rightarrow \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 7 & -3 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ \end{array} \right) \]

第二步就是我们前面学过的高斯消元,即“向下消元”

而第三步是若尔当消元,即“向上消元”,主元是第二行第二个元素“1”.

这里我们就求出我们要的 \(A\) 的逆矩阵为:

\[\left( \begin{array}{cc} 7 & -3 \\ -2 & 1 \\ \end{array} \right) \]

因为:

\[E*\left[ \begin{array}{cc} A & I \\ \end{array} \right]=[I \quad E]=\left[I\quad A^{-1}\right] \]

\(E\) 表示我们引入的总的消元矩阵,最左边就表示对增广矩阵消元,因为\(E*A=I\) ,所以\(E\) 就是\(A\) 的逆矩阵。

以上就是求逆的方法和过程。

posted @ 2020-08-11 21:40  懒懒阳光下的午睡  阅读(2394)  评论(0编辑  收藏  举报