普通莫队学习笔记

莫队算法主要用于可以离线的区间询问回答。

引子

考虑一个这样的问题：假设没有事先求前缀和，你知道了数组第 $5$ 个数到第 $100$ 个数的和，现在询问问你第 $4$ 个数到第 $102$ 个数的和。怎么快速的计算？

显然直接暴力的去把第 $4$ 个数加进去，然后把第 $101$ 个数和 $102$ 个数加进去。也就是说，当我们连续询问了两个问题，且这两个问题的交集比较大的时候，我们直接暴力的去处理不相交的部分，其实时间复杂度是很优秀的。

莫队就是这样一种处理询问的方式，通过排序，使得两两询问之间的交集尽可能的大。

如何排序

字母	含义
$L$	某一询问的左端点
$R$	某一询问的右端点
$block$	块长
$N$	数字个数
$M$	询问规模

如何排序使得区间交集尽可能大？

根据分块的思想，莫队按照 ${\displaystyle \frac{L}{block}}$（设块长为 $block$）进行分组，然后每一组中的区间再按照 $R$ 从小到大排序。

因为 $L$ 被分了组，所以 $L$ 端点移动复杂度不大于 $block$。

对于相同组， $R$ 从小到大移动不超过 $N$。因为总共有 ${\displaystyle \frac{N}{block}}$ 组， 所以总复杂度不超过 ${\displaystyle \frac{N^2}{block}}$ ，均摊到每一次询问上就是 ${\displaystyle \frac{N^2\times block}{M}}$。

当 $N$ 和 $M$ 是一个数量级时，每次询问均摊的复杂度就是 $block+{\displaystyle \frac{N}{block}}$。当 $block$ 取 $\sqrt{L}$ 时，复杂度达到最小值，为 $O(n\sqrt{n})$。

code

一次排序 + 四遍 $while$ 循环即可

注意 $l$, $r$ 移动区间时，++l，--l，++r，--r 的顺序排列仅有 $3$ 种排列是正确的，如下图（图源 OI-Wiki）

口诀：先加后减，先左后右，先小后大

int n, block
struct query {
    int l, r, id;
    bool operator<(query x) {
        return l / block == x.l / block ? (r == x.r ? 0 : ((l / block) & 1) ^ (r < x.r)) : l < x.l;
    }
} q[N];

// update nowans
void move() {
    //...
}

void mo() {
    block = int(ceil(pow(n, 0.5)));
    sort(q + 1, q + n + 1);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        query Q = q[i];
        while (l < q.l) move(l++, 1);
        while (l > q.l) move(--l, 1);
        while (r < q.r) move(++r, 1);
        while (r > q.r) move(--r, 1);
    }
}

应用

区间 $mex$

首先莫队把询问离线排序后，我们可以很简单的维护出一个桶。

每次暴力维护移动的时候，就令 $num[$ $l$ $]$ 加加或者减减。问题在于如何快速求 $mex$。在四个循环跑完以后，我们已经知道了当前区间形成的桶，怎样快速求出 $mex$ 呢？

考虑对于桶进行分块。每 $block$ 个桶合并出一个大的桶。这个桶存一下当前这个块内有多少元素被覆盖。

维护好这个大的桶后，我们就可以在 $block+{\displaystyle \frac{N}{block}}$ 时间复杂度内求得区间 $mex$。