热力学系统
热力学状态：某一瞬间系统所呈现的宏观物理状况
状态参数：描述物系所处平衡状态的宏观物理量
状态参数是宏观量，是大量粒子的统计平均效应，只有平衡态才有状态参数。状态参数是热力系统状态的单值函数，物理上与过程无关，数学上其微量是全微分。状态参数分类有：强度量 (与系统质量多少无关的参数), 广延量(与系统质量成正比的参数, 有可加性)。广延量的比性质具有强度量特性。
可逆过程：系统可经原路径恢复至原来状态而在外界不留下任何变化的过程。
不可逆过程的因素
- 耗散效应：摩擦、电阻
- 非准平衡过程：温差传热、自由膨胀、混合
自然过程中凡是能够独立、无条件地自动进行的过程, 称为自发过程。不能独立地自动进行而需要外界帮助作为补充条件的过程, 称为非自发过程。自发过程的反向过程是非自发过程。不可逆是自发过程的重要特征和属性。
状态参数
- \(T\)：温度
- \(p\)：压力
- \(v = V/m\)：比体积
- \(u = U/m\)：比热力学能
- \(e=u+\frac{1}{2} c_{\mathrm{f}}^{2}+g z\)：比总能
- \(h = u + pv\)：比焓，随着工质的移动而转移的能量等于焓
- \(s\)：比熵，其定义为 \(\mathrm{d} s=\dfrac{\delta q_{\mathrm{rev}}}{T}\)，\(\delta q_{\mathrm{rev}}\) 为 \(1 \mathrm{~kg}\) 工质在微元可逆过程中与热源交换的热量
压力
绝对压力, 也称真实压力 \(p\)
真空度 \(p_{\mathrm{v}}\)
表压力 \(p_{\mathrm{e}}\)
当地大气压 \(p_{\mathrm{b}}\)
\[p=p_{\mathrm{b}}-p_{\mathrm{v}} \left(p<p_{\mathrm{b}}\right)
\]
\[p=p_{\mathrm{b}}+p_{\mathrm{e}} \left(p>p_{\mathrm{b}}\right)
\]
熵
选择基准状态 \(p_{0}=101325 \mathrm{~Pa}\) 、 \(T_{0}=0 \mathrm{~K}\) , 规定这时 \(s_{0 \mathrm{~K}}^{0}=0\) (上标 “ \(0\) ” 表示压力为 \(1\) 标准大气压), 任意状态 (\(T\), \(p\)) 时 \(s\) 值为
\[s=s_{0 \mathrm{~K}}^{0}+\int_{T_{0}}^{T} c_{p} \frac{\mathrm{d} T}{T}-R_{\mathrm{g}} \ln \frac{p}{p_{0}}=\int_{T_{0}}^{T} c_{p} \frac{\mathrm{d} T}{T}-R_{\mathrm{g}} \ln \frac{p}{p_{0}}
\]
选定基准状态 \(\left(T_{0} 、 p_{0}\right)\) 后, 状态 \(\left(T 、 p_{0}\right)\) 的值 \(s^{0}\) 为
\[s^{0}=\int_{T_{0}}^{T} c_{p} \frac{\mathrm{d} T}{T}-R_{\mathrm{g}} \ln \frac{p_{0}}{p_{0}}=\int_{T_{0}}^{T} c_{p} \frac{\mathrm{d} T}{T}
\]
\(s^{0}\) 数值仅取决于温度 \(T\) , 可依温度排列制表
\[\Delta s_{1-2}=s_{2}^{0}-s_{1}^{0}-R_{\mathrm{g}} \ln \frac{p_{2}}{p_{1}}
\]
过程量
体积变化功
\[\delta W=p \mathrm{~d} V
\]
\[\delta w=p \mathrm{~d} v
\]
过程热量
可逆过程中
\[\delta q=T \mathrm{~d} s
\]
可逆过程的热力学第一定律
\[\delta q=\mathrm{d} u+p \mathrm{~d} v, \quad \delta q=\mathrm{d} h-v \mathrm{~d} p
\]
比热容
\[c=\frac{\delta q}{\mathrm{~d} T}
\]
比定压热容和比定容热容，分别以 \(c_{p}\) 和 \(c_{V}\) 表示。
定容时 \((\mathrm{d} v=0)\)
\[c_{V}=\left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)_{v}
\]
定压时 \((\mathrm{d} p=0)\)
\[c_{p}=\left(\frac{\partial h}{\partial T}\right)_{p}
\]
理想气体
状态方程
\[p v=R_{\mathrm{g}} T
\]
\[R_{\mathrm{g}}=\frac{R}{M}=\frac{8.3145 \mathrm{~J} /(\mathrm{mol} \cdot \mathrm{K})}{M}
\]
比热容
迈耶公式
\[c_{p}-c_{V}=R_{\mathrm{g}}
\]
比值 \(c_{p} / c_{V}\) 称为比热容比, 以 \(\gamma\) 表示。
\[c_{p}=\frac{\gamma}{\gamma-1} R_{\mathrm{g}}, \quad c_{V}=\frac{1}{\gamma-1} R_{\mathrm{g}}
\]
可以看作是定值，此时有
\[\gamma=\frac{i+2}{i}
\]
热力学能、焓、熵
由分子运动理论可导出，\(1 \mathrm{~mol}\) 理想气体的热力学能 \(U_{\mathrm{m}}=\dfrac{i}{2} R T\)，实际上，理想气体的热力学能是温度的复杂函数。
理想气体的热力学能、焓仅由温度决定。
\[\mathrm{d} u=c_{V} \mathrm{~d} T
\]
\[\mathrm{d} h=c_{p} \mathrm{~d} T
\]
\[\mathrm{d} s=\frac{\mathrm{~d} h-v \mathrm{~d} p}{T}=c_{p} \frac{\mathrm{d} T}{T}-R_{\mathrm{g}} \frac{\mathrm{d} p}{p}
\]
\[\mathrm{d} s=\frac{\mathrm{d} u+p \mathrm{~d} v}{T}=c_{V} \frac{\mathrm{d} T}{T}+R_{\mathrm{g}} \frac{\mathrm{d} v}{v}
\]
可逆过程
\(\kappa\) 称为绝热指数。理想气体绝热指数等于比热容比, 即 \(\gamma=\kappa\) 。
\[\frac{\partial p}{\partial v}=-n \frac{p}{v}
\]
\[\frac{\partial T}{\partial s}=\frac{T}{c_{n}}
\]
蒸气
- 饱和状态：当汽化速度等于液化速度时，系统处于动态平衡，宏观上气、液两相保持一定的相对数量。此时饱和温度 \(t_{\mathrm{s}}\) , 饱和压力 \(p_{\mathrm{s}}\) ，一一对应
- 未饱和液：温度低于所处压力下饱和温度的液体， \(t<t_{\mathrm{s}}\)
- 饱和液：处于饱和状态的液体: \(t=t_{\mathrm{s}}\)
- 湿饱和蒸汽：饱和液和饱和蒸汽的混合物， \(t=t_{\mathrm{s}}\)
- 干饱和蒸汽：处于饱和状态的蒸汽， \(t=t_{\mathrm{s}}\)
- 过热蒸汽：温度高于饱和温度的蒸汽， \(t>t_{s}, t-t_{\mathrm{s}}=d\) 称过热度
- 干度：湿蒸汽中干饱和蒸汽的质量分数，用 \(w\) 或 \(x\) 表示
- 湿度：\(y=1-x\)
\[x\left\{\begin{array}{ll}
0 & \text { 饱和液 } \\
\downarrow & \text { 湿饱和蒸汽 } \\
1 & \text { 干饱和蒸汽 }
\end{array}\right.
\]
- 饱和液：\(v^{\prime}, h^{\prime}, s^{\prime}, u^{\prime}\)
- 干饱和蒸汽：\(v^{\prime \prime}, h^{\prime \prime}, s^{\prime \prime}, u^{\prime \prime}\)
对于湿饱和蒸汽
\[v_{x}=x v^{\prime \prime}+(1-x) v^{\prime}=v^{\prime}+x\left(v^{\prime \prime}-v^{\prime}\right)
\]
\[h_{x}=x h^{\prime \prime}+(1-x) h^{\prime}=h^{\prime}+x \gamma
\]
\[s_{x}=x s^{\prime \prime}+(1-x) s^{\prime}=s^{\prime}+x\left(s^{\prime \prime}-s^{\prime}\right)=s^{\prime}+x \frac{\gamma}{T_{\mathrm{s}}}
\]
\[u_{x}=h_{x}-p_{\mathrm{s}} v_{x}
\]
- \(\gamma = h^{\prime \prime}-h^{\prime}\)：汽化潜热
- \(T_{\mathrm{s}}, p_{\mathrm{s}}\)：饱和温度, 饱和压力
热力学第一定律
闭口系能量方程式
忽略宏观动能和位能
\[\delta Q=\mathrm{d} U+\delta W
\]
\[\delta q=\mathrm{d} u+\delta w
\]
系统吸热 \(Q\) 为正, 对外作功 \(W\) 为正
闭口系完成一个循环后, 它在循环中与外界交换的净热量等于与外界交换 的净功量，即
\[Q_{\text {net }} =W_{\text {net }}
\]
\[q_{\text {net }} =w_{\text {net }}
\]
开口系统能量方程式
开口系统 CV
- 在 \(\mathrm{d} \tau\) 时间内进行一个微元过程
- 流入质量为 \(\delta m_{1}\) (体积为 \(\mathrm{d} V_{1}\)) 的微元工质
- 流出质量为 \(\delta m_{2}\) (体积为 \(\mathrm{d} V_{2}\)) 的微元工质
- 系统从外界接受热量 \(\delta Q\) , 对机器设备作功 \(\delta W_{\mathrm{i}}\) (内部功)
- 完成该微元过程后系统内工质质量增加了 \(\mathrm{d} m\) , 系统的总能量增加了 \(\mathrm{d} E_{\mathrm{CV}}\) 。
考察该微过程中的能量平衡，应有
\[\delta Q=\mathrm{d} E_{\mathrm{CV}}+\left(h_{2}+\frac{c_{\mathrm{f}, 2}^{2}}{2}+g z_{2}\right) \delta m_{2}-\left(h_{1}+\frac{c_{\mathrm{f}, 1}^{2}}{2}+g z_{1}\right) \delta m_{1}+\delta W_{\mathrm{i}}
\]
上式两边均除以 \(\mathrm{d} \tau\) 即得单位时间内系统能量关系
\[\Phi=\frac{\mathrm{d} E_{\mathrm{CV}}}{\mathrm{d} \tau}+\left(h_{2}+\frac{c_{\mathrm{f}, 2}^{2}}{2}+g z_{2}\right) q_{m2}-\left(h_{1}+\frac{c_{\mathrm{f}, 1}^{2}}{2}+g z_{1}\right) q_{m1}+P_{\mathrm{i}}
\]
- \(\Phi=\dfrac{\delta Q}{\mathrm{~d} \tau}\)：单位时间内的热流量
- \(q_{m1}=\dfrac{\delta m_{1}}{\mathrm{~d} \tau}, q_{m2}=\dfrac{\delta m_{2}}{\mathrm{~d} \tau}\)：质量流量
- \(P_{\mathrm{i}}=\dfrac{\delta W_{\mathrm{i}}}{\mathrm{d} \tau}\)：内部功率
稳定流动能量方程
\[\delta Q=\mathrm{d} H+\frac{1}{2} m \mathrm{~d} c_{\mathrm{f}}^{2}+m g \mathrm{~d} z+\delta W_{\mathrm{i}}
\]
\[\delta q=\mathrm{d} h+\frac{1}{2} \mathrm{~d} c_{\mathrm{f}}^{2}+g \mathrm{~d} z+\delta w_{\mathrm{i}}
\]
改写为
\[q-\Delta u=w_{\mathrm{i}}+\left(p_{2} v_{2}-p_{1} v_{1}\right)+\frac{1}{2}\left(c_{\mathrm{f} 2}^{2}-c_{\mathrm{f} 1}^{2}\right)+g\left(z_{2}-z_{1}\right)
\]
- 热能转变成功部分：\(q-\Delta u\)
- 内部功：\(w_{\mathrm{i}}\)
- 流动功：\(\left(p_{2} v_{2}-p_{1} v_{1}\right)\)
- 机械能增量：\(\dfrac{1}{2}\left(c_{\mathrm{f} 2}^{2}-c_{\mathrm{f} 1}^{2}\right)+g\left(z_{2}-z_{1}\right)\)
- 技术功 \(w_{\mathrm{t}}=w_{\mathrm{i}}+\dfrac{1}{2}\left(c_{\mathrm{f} 2}^{2}-c_{\mathrm{f} 1}^{2}\right)+g\left(z_{2}-z_{1}\right)\)
\[q=\Delta h+w_{\mathrm{t}}
\]
热力学第二定律
卡诺定理与卡诺循环
定理一：在相同温度的高温热源和相同温度的低温热源之间工作的一切可
逆循环, 其热效率都相等, 与可逆循环的种类无关，与采用哪一种工质也无关。
定理二：在温度同为 \(T_{1}\) 的热源和同为 \(T_{2}\) 的冷源间工作的一切不可逆循环, 其热效率必小于可逆循环。
卡诺循环的热效率
\[\eta_{\mathrm{c}}=\frac{w_{\mathrm {net }}}{q_{1}}=1-\frac{T_{2}}{T_{1}}
\]
逆向卡诺制冷循环的制冷系数为
\[\varepsilon_{\mathrm{c}}=\frac{q_{2}}{w_{\mathrm {net }}}=\frac{T_{2}}{T_{1}-T_{2}}
\]
逆向卡诺热泉循环的供暖系数为
\[\varepsilon_{c}^{\prime}=\frac{q_{1}}{w_{\mathrm {net }}}=\frac{T_{1}}{T_{1}-T_{2}}
\]
- \(w_{\mathrm {net}}\)：循环净功
- \(q_{1}, q_{2}\)：分别与高温热源和低温热源的热交换量
熵方程
闭口系(控制质量)熵方程
闭口系统的熵变可归结为换热和过程不可逆
\[\mathrm{d} S=\frac{\delta Q}{T_{\mathrm{r}}}+\delta S_{\mathrm{g}}=\delta S_{\mathrm{f}}+\delta S_{\mathrm{g}}
\]
- \(\delta S_{\mathrm{f}}=\dfrac{\delta Q}{T_{\mathrm{r}}}\)：热熵流 (简称熵流), 表明系统与外界换热 (无论可逆与否) 引起的系统熵变, 系统吸热为正, 系统放热为负, 过程绝热为零
- \(\delta S_{\mathrm{g}}\)：熵产, 是不可逆因素造成的系统熵增加, 熵产只可能是正值, 极限情况 (可逆过程) 为零
- \(T_{\mathrm{r}}\)：热源温度
开口系(控制体积)熵方程
\[\mathrm{d} S_{\mathrm{CV}}=\sum_{i} s_{i} \delta m_{i}-\sum_{j} s_{j} \delta m_{j}+\sum_{l} \frac{\delta Q_{l}}{T_{\mathrm{r}, l}}+\delta S_{\mathrm{g}}
\]
㶲
热力学中定义: 在环境条件下, 能量中可转化为有用功的最高份额称为该能量的㶲。或者,热力系只与环境相互作用, 从任意状态可逆地变化到与环境相平衡的状态时, 作出的最大有用功称为该热力系的拥。
在温度为 \(T_{0}\) 的环境条件下, 系统 \(\left(T>T_{0}\right)\) 所提供的热量中可转化为有用功的最大值是热量㶲, 用 \(E_{\mathrm{x}, Q}\) 表示。
\[E_{\mathrm{x}, Q}=\left(1-\frac{T_{0}}{T}\right) Q=Q-T_{0} \Delta \mathrm{S}
\]
工程上把与温度低于环境温度 \(T_{0}\) 的物体 \(\left(T<T_{0}\right)\) 交换的热量叫做冷量, 温度低于环境温度的系统, 吸入热量 \(Q_{c}\) (即冷量) 时作出的最大有用功称为冷量㶲, 用 \(E_{\mathrm{x}, Q_{\mathrm{c}}}\) 表示。
\[E_{\mathrm{x}, Q_{\mathrm{c}}}=\left(\frac{T_{0}}{T}-1\right) Q_{\mathrm{c}}=T_{0} \Delta S-Q_{\mathrm{c}}
\]
最大有用功 (热力学能㶲)，是状态参数
\[w_{\mathrm{u}, \max }=u-u_{0}-T_{0}\left(s-s_{0}\right)+p_{0}\left(v-v_{0}\right)
\]
系统的㶲损失
\[I = T_{0} S_{\mathrm{g}}
\]
气体与蒸汽的流动
稳定流动的基本方程式
连续性方程
\[q_{m 1}=q_{m 2}=q_{m}=\frac{A_{1} c_{\mathrm{f} 1}}{v_{1}}=\frac{A_{2} c_{\mathrm{f} 2}}{v_{2}}=\frac{A c_{\mathrm{f}}}{v}
\]
稳定流动能量方程
\[h_{1}+\frac{c_{\mathrm{f}1}^{2}}{2}=h_{2}+\frac{c_{\mathrm{f} 2}^{2}}{2}=h+\frac{c_{\mathrm{f}}^{2}}{2}
\]
可逆绝热过程方程
\[p_{1} v_{1}^{\kappa}=p_{2} v_{2}^{\kappa}=p v^{\kappa}
\]
结合理想气体状态方程，有
\[pT^{-\frac{\kappa}{\kappa-1}} = \text{Const}
\]
声速方程
声波传播近似看做定熵过程
\[c=\sqrt{(\partial p / \partial \rho)_{\mathrm{s}}}=\sqrt{-v^{2}(\partial p / \partial v)_{\mathrm{s}}}=\sqrt{\kappa p v}
\]
对于理想气体
\[c=\sqrt{\kappa R_{\mathrm{g}} T}
\]
马赫数定义
\[{M\!a}=\frac{c_{\mathrm{f}}}{c}
\]
滞止参数
气体在绝热流动过程中, 因受到某种物体的阻碍, 而流速降低为零的过程称为绝热滞止过程。
滞止参数用下标 \(0\) 表示。
\[h_{0}=h+\frac{c_{\mathrm{f}}^{2}}{2}
\]
对于理想气体，有
\[c_{p} T_{0}=c_{p} T+\frac{c_{\mathrm{f}}^{2}}{2}
\]
\[p_{0}=p\left(\dfrac{T_{0}}{T}\right)^{\frac{\kappa}{\kappa-1}}
\]
促使流速改变的条件
力学条件
\[c_{\mathrm{f}} \mathrm{d} c_{\mathrm{f}}=-v \mathrm{~d} p
\]
\[\frac{\mathrm{d} p}{p}=-\kappa {M\!a}^{2} \frac{\mathrm{d} c_{\mathrm{f}}}{c_{\mathrm{f}}}
\]
如要使气流的速度增加, 必须使气流有机会在适当条件下膨胀以减低其压力。反之, 如要获得高压气流, 则必须使高速气流在适当条件下降低其流速。
几何条件
\[\frac{\mathrm{d} v}{v}={M\!a}^{2} \frac{\mathrm{d} c_{\mathrm{f}}}{c_{\mathrm{f}}}
\]
\[\frac{\mathrm{d} A}{A}=\left({M\!a}^{2}-1\right) \frac{\mathrm{d} c_{\mathrm{f}}}{c_{\mathrm{f}}}
\]
临界参数
截面上 \({M\!a}=1\) 、 \(c_{\mathrm{f}}=c\) , 称临界截面。用下标 cr 表示。
临界压力比
\[\nu_{\mathrm{cr}}=\frac{p_{\mathrm{cr}}}{p_{0}}=\left(\frac{2}{\kappa+1}\right)^{\frac{\kappa}{\kappa-1}}
\]
对于空气 \(\nu_{\mathrm{cr}}=0.528\)
喷管计算
\[c_{\mathrm{f}}=\sqrt{2\left(h_{0}-h\right)}=\sqrt{2\left(h_{1}-h\right)+c_{\mathrm{f} 1}^{2}}
\]
\[c_{\mathrm{f}}=\sqrt{2 \frac{\kappa p_{0} v_{0}}{\kappa-1}\left[1-\left(\frac{p}{p_{0}}\right)\right]^{\frac{\kappa-1}{\kappa}}}
\]
背压 \(p_{\mathrm{b}}\)：喷管出口截面外工作环境的压力。对于渐缩喷管，喷管出口压力 \(p_{2}=\max \left\{ p_{\mathrm{b}}, p_{\mathrm{cr}} \right\}\)。
设计喷管时，应使 \(p_{2}=p_{\mathrm{b}}\)。
有摩擦的绝热流动
喷管速度系数
\[\varphi=\frac{c_{\mathrm{f} 2}}{c_{\mathrm{f} 2_{\mathrm{s}}}}
\]
- \(c_{\mathrm{f} 2}\)：气流在喷管出口截面上实际流速
- \(c_{\mathrm{f} 2_{\mathrm{s}}}\)：理想可逆流动时的流速
能量损失系数
\[\zeta=\frac{c_{\mathrm{f} 2_{s}}^{2}-c_{\mathrm{f} 2}^{2}}{c_{\mathrm{f} 2_{s}}^{2}} = 1-\varphi^{2}
\]
喷管效率
\[\eta_{N}=\frac{c_{\mathrm{f} 2}^{2}}{c_{\mathrm{f} 2_{s}}^{2}}=\varphi^{2}
\]
绝热节流
由于局部阻力，使流体压力降低的现象。
-
\(p_{2}<p_{1}\)
-
强烈不可逆, \(s_{2}>s_{1}\), \(I=T_{0} s_{\mathrm{g}}\)
-
\(h_{1}=h_{2}\) ， 但节流并非等焓过程
-
\(T_{2}\) 可能大于等于或小于 \(T_{1}\) , 理想气体 \(T_{2}=T_{1}\)
