推进系统原理总结
推进系统原理总结
热力学基础
理想气体
状态方程
\[p=\rho R T
\]
- 标准大气压：101325 Pa = 1 atm
- 海平面大气密度：1.225 Kg/m3
- 标准情况下的大气，理想气体常数 \(R\) = 287 J/(kg·K)
- 0 ℃ = 273.16 K
内能 \(e=e(T)\)
焓 \(h=e+p / \rho=e+RT=h(T)\)
定容比热容 \(C_V=\Big(\dfrac{\partial Q}{\partial T}\Big)_{V}\)
定压比热容 \(C_P=\Big(\dfrac{\partial h}{\partial T}\Big)_{p}\)
比热比 \(\gamma=C_P/C_V\)
\(\mathrm{d}e=C_V\mathrm{d}T\)，\(\mathrm{d}h=C_P\mathrm{d}T\)
\[C_P=\frac{\gamma R}{\gamma-1} ,\quad C_V=\frac{R}{\gamma-1}
\]
对于标准情况下的大气，\(\gamma\) =1.4
对量热完全气体，\(C_P\) \(C_V\) 为常数
声速
\[a=\sqrt{\left(\frac{\partial p}{\partial \rho}\right)_{s}}=\sqrt{\gamma R T}
\]
标准海平面大气的声速 \(a\) =340.9 m/s
马赫数 \(M = \dfrac{u}{a}\)
热力学定律
热力学第一定律
\[\delta q+\delta w=\mathrm{d} e
\]
熵的定义
\[\mathrm{d} s=\frac{\delta q_{\mathrm{rev}}}{T}
\]
- \(s\) 熵
- \(\delta q_{\mathrm{rev}}\) 可逆地加于系统的热增量
实际上
\[\mathrm{d} s=\frac{\delta q}{T}+\mathrm{d} s_{\mathrm{irrev}}
\]
- \(\delta q\) 不可逆过程中实际加在系统上的热增量
- \(\mathrm{d} s_{\mathrm{irrev}}\) 不可逆过程中，系统由于黏性消耗，热传导和质量耗散而产生的熵增
热力学第二定律
\[\mathrm{d} s \geqslant \frac{\delta q}{T}
\]
熵的实际计算：
可逆过程中
\[T \mathrm{~d} s=\mathrm{d} e+p \mathrm{~d} v
\]
\[T \mathrm{~d} s=\mathrm{d} h-v \mathrm{~d} p
\]
对量热完全气体
\[s_{2}-s_{1}=C_P \ln \frac{T_{2}}{T_{1}}-R \ln \frac{p_{2}}{p_{1}}=C_V \ln \frac{T_{2}}{T_{1}}+R \ln \frac{v_{2}}{v_{1}}
\]
定义既绝热又可逆的过程叫做等熵过程。对量热完全气体，有等熵关系式
\[\frac{p_{2}}{p_{1}}=\left(\frac{\rho_{2}}{\rho_{1}}\right)^{\gamma}=\left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right)^{\gamma /(\gamma-1)}
\]
滞止参数
流动定常、绝热、无黏、不做功
由热力学第一定理，沿流线
\[h+\frac{u^{2}}{2}=h_{t}
\]
对于量热完全气体 \(h_{t}=C_P T_{t}\) ，称总温 \(T_{t}\)， 总焓 \(h_{t}\) 。
如果所有的流线都来自均匀自由来流，那么总焓在不同流线也是相等的，在整个流场中为常数，等于自由来流对应的总焓。
满足上面条件且等熵
沿流线总焓相同，则量热完全气体有
\[\frac{\gamma}{\gamma-1} \frac{p}{\rho}+\frac{1}{2} u^{2}=\frac{\gamma}{\gamma-1} \frac{p_{t}}{\rho_{t}}
\]
\[p_{t}=\rho_{t} R T_{t}
\]
称总压 \(p_{t}\)，总密度 \(\rho_{t}\)
如果整个流动区域都是等熵的，则总压和总密度分别为常数。
可以定义滞止声速
\[a_{t} = \sqrt{\gamma R T_{t}}
\]
对理想气体
\[a^{2}+\frac{\gamma-1}{2} u^{2}=a_{t}^{2}
\]
等熵关系式
\[T=T_{t}\left(1+\frac{\gamma-1}{2} M^{2}\right)^{-1}
\]
\[p=p_{t}\left(1+\frac{\gamma-1}{2} M^{2}\right)^{-\gamma/(\gamma-1)}
\]
\[\rho=\rho_{t}\left(1+\frac{\gamma-1}{2} M^{2}\right)^{-1/(\gamma-1)}
\]
临界参数
亚声速流或者超声速流中，考虑流场中一点，流体微团等熵加速或减速至声速，对应的参数称为临界参数，用 “ \(*\) ” 标记。
\[a^{*}=\sqrt{\gamma R T^{*}}
\]
\[\left(\frac{a^{*}}{a_{0}}\right)^{2}=\frac{T^{*}}{T_{0}}=\frac{2}{\gamma+1}
\]
\[\frac{p^{*}}{p_{0}}=\left(\frac{2}{\gamma+1}\right)^{\gamma/(\gamma-1)}
\]
\[\frac{\rho^{*}}{\rho_{0}}=\left(\frac{2}{\gamma+1}\right)^{1/(\gamma-1)}
\]
特征马赫数 \(M^{*}=\dfrac{u}{a^*}\)
\[{M^{*}}^{2}=\frac{(\gamma+1) M^{2}}{2+(\gamma-1) M^{2}}
\]
准一维流动
控制方程
质量守恒
\[\frac{\mathrm{d} m_{cv}}{\mathrm{d}t}=\dot{m}_{i}-\dot{m}_{o}
\]
\[\dot{m}=\rho u A
\]
动量守恒
\[\frac{\mathrm{d} M_{cv}}{\mathrm{d}t}=\sum F+\dot{M}_{i}-\dot{M}_{o}
\]
\[\dot{M}=\dot{m} u=\rho A u^2
\]
能量守恒
\[\frac{\mathrm{d} E_{cv}}{\mathrm{d}t}=\dot{Q}-\dot{W}+\dot{E}_{i}-\dot{E}_{o}
\]
\[\dot{E}=\dot{m} \left(h+\frac{u^2}{2}+g z\right)
\]
关系式
定义质量流动参数 [kg/(m^2·s)]
\[\mathrm{MFP}=\frac{\dot{m}}{A}\frac{\sqrt{T_{t}}}{p_{t}}=\sqrt{\frac{\gamma}{R}} M \left(1+\frac{\gamma-1}{2} M^{2}\right)^{-(\gamma+1)/2(\gamma-1)}
\]
当 \(M_{t}=1\) ，则 \(A_{t}=A^{*}\) 最小，MFP 达到最大值，此时为临界参数。
\[\frac T{T^*}=\frac{\frac{\gamma+1}2}{1+(\frac{\gamma-1}2)M^2}
\]
\[\frac p{p^*}=\left[\frac{\frac{\gamma+1}2}{1+\left(\frac{\gamma-1}2\right)M^2}\right]^{1/(\gamma-1)}
\]
\[\frac{\rho}{\rho^{*}}=\left[\frac{\frac{\gamma+1}{2}}{1+\left(\frac{\gamma-1}{2}\right)M^{2}}\right]^{\gamma/(\gamma-1)}
\]
\[\frac{A}{A^*}=\frac{1}{M}\Bigg[\frac{1+\frac{\gamma-1}{2}M^2}{\frac{\gamma+1}{2}}\Bigg]^{(\gamma+1)/2(\gamma-1)}
\]
无量纲数
无量纲的焓
\[H=\frac{C_PT}{C_P T_{ti}}
\]
无量纲的动能
\[K=\frac{u^{2}}{2C_P T_{ti}}
\]
H-K 图，显示了代表性常量特性的等值线。
关键点：
- 点 o ：表示自由流参考状态，通常对应于流体的初始状态。
- 点 c ：表示在恒定冲量下的阻塞状态，这通常是指流体在特定条件下无法进一步通过的状态。
- 点 u 和 d ：表示法向冲击（normal shock）的终态，这两个点表示流体在通过冲击波前后的状态变化。
圈中的数字表示图中不同的常量特性的等值线，它们分别代表：
- 静焓和静温。
- 动能、速度和压力（仅适用于无摩擦加热或冷却的情况）。
- 马赫数，表示流体速度与当地声速的比值。
- 总焓和总温（在绝热条件下，即没有热传递的情况下）。
- 加热后释放的绝热线，这条线表示流体在加热后释放热量的路径。
- 冲量函数/流推力，和面积（仅适用于无摩擦加热或冷却的流动）。
- 冲量函数，这个函数通常用来描述流动中的冲量变化。
推力
定义冲量函数
\[I=p A+\dot{m} u=p A (1+\gamma M^2)
\]
流体对管道的作用力
\[F=I_i-I_o
\]
等熵流关系式
\[\frac{I}{I^*}=\frac{p}{p^*} \frac{A}{A^*} \frac{1+\gamma Ma^2}{1+\gamma}
\]
化学热力学
理想气体混合物
\[p_iV=N_i R_u T
\]
\[R=\frac{R_u}{M_w}
\]
\(R_u\) = 8.314 KJ/(Kmol·K)
摩尔分数 \(X_i=\dfrac{N_i}{N}\)
质量分数 \(Y_i=\dfrac{m_i}{m}=X_i \dfrac{M_{wi}}{M_{w}}\)
混合物的分子质量 \(\displaystyle M_w=\sum_{i} X_{i} M_{wi}\)
每个组分 \(T\) \(V\) 相同，分压 \(p_i=X_i p\)
混合物的
内能 \(\displaystyle e=\sum_{i} Y_i e_i\)
焓 \(\displaystyle h=\sum_{i} Y_i h_i\)
熵 \(\displaystyle s=\sum_{i} Y_i s_i\)
定压比热容 \(\displaystyle C_P=\sum_{i} Y_i C_{P,i}\)
定容比热容 \(\displaystyle C_V=\sum_{i} Y_i C_{V,i}\)
燃烧
形成焓(enthalpy of formation, J/mol)
\[\bar{h}_{k}(T)\approx \underbrace{\bar{h}_{f,k}^{\circ}}_{\text{标准形成焓}}+\underbrace{C_{P,k}(T-T_{ref})}_{\text{显焓}}
\]
- h 上加一横表示平均。
- 右上角的 \(\circ\) 表示在标准状态(1atm，298K)其自然存在形式下。对于单质在其标准状态下，生成焓为0。
热值 (J/mol)
\[\Delta H_C=\sum_{\text{reactant}}N_i \bar{h}_{i}(T)-\sum_{\text{product}}N_i \bar{h}_{i}(T)
\]
绝热燃烧温度 \(T_{ad}\)
定压情况下总焓守恒
\[\sum_{\text{reactant}}N_i \bar{h}_{i}(T)=\sum_{\text{product}}N_i \bar{h}_{i}(T_{ad})
\]
火箭发动机
主要参数
火箭推进系统的推力
\[F=\dot{m}_pu_e+(p_e-p_a)A_e
\]
- \(\dot{m}_p\) 质量流率，单位时间内流经系统的质量。
- \(u_e\) 喷气速度，从火箭喷口排出的气体相对于火箭的速度。
- \(p_e\) 喷口压力。
- \(p_a\) 周围环境的大气压力。
- \(A_e\) 喷口面积。
有效速度
\[C=u_e+\frac{(p_e-p_a)A_e}{\dot{m}_p}
\]
\[F=\dot{m}_pC
\]
总冲量
\[I_t=\int_0^tFdt\simeq Ft
\]
比冲：单位推进剂重量所产生的总冲量
\[I_s=\frac{I_t}{m_pg_0}\simeq\frac{C}{g_0}
\]
火箭系统的总质量
\[m_0=m_{pl}+m_p+m_{dw}
\]
- \(m_{pl}\)：有效载荷质量，即火箭需要运输的货物或设备的质量。
- \(m_p\)：推进剂质量，火箭为了产生推力而消耗的燃料和氧化剂的总质量。
- \(m_{dw}\)：干重，火箭本身的结构、发动机、导航和控制系统等的总质量。
推进剂完全消耗后的质量
\[m_f=m_0-m_p=m_{pl}+m_{dw}
\]
有效载荷质量比
\[\lambda=\frac{m_{pl}}{m_{0}}
\]
其他质量比
\[\delta=\frac{m_{dw}}{m_0}
\]
火箭系统的质量比：火箭系统的初始质量与推进剂完全消耗后的质量之比
\[MR=\frac{m_0}{m_f}=\frac1{\lambda+\delta}
\]
冲量重量比
\[\frac{I_t}{w_0}=\frac{I_t}{m_0g_0}=\frac{I_s}{m_f/m_p+1}
\]
推力重量比
\[\frac F{w_0}=\frac F{m_0g_0}
\]
喷射功率
\[P_{jet}=\frac12\dot{m}_pu_e^2\simeq\frac{1}{2}Fu_e
\]
化学反应能
\[P_{\text {chem }}=\dot{m}_{F} \dot{Q}_{F}=\dot{m}_{F}\left(\Delta h_{c}\right)_{F}
\]
实际化学反应能
\[P_{\text {chem }}^{\prime}=\eta_{\text {comb }} P_{\text {chem }}=\eta_{\text {comb }} \dot{m}_{F}\left(\Delta h_{c}\right)_{F}
\]
飞行器的功率
\[P_{\text {vehicle }}=F u_{\text {vehicle }}
\]
火箭发动机的内部效率：喷射功率/实际化学反应能 （化学能 → 喷射动能）
\[\eta_{\text {int }}=\frac{1 / 2 \dot{m}_{p} u_{e}^{2}}{\eta_{\text {comb }} \dot{m}_{F}\left(\Delta h_{c}\right)_{F}}
\]
推进效率：（喷射动能 → 飞行器功率）
\[\eta_p=\frac{P_\text{vehicle}}{P_\text{vehicle}+1/2 \dot{m}_p(C-u_\text{vehicle})^2}=\frac{2 u_\text{vehicle}/C}{1+(u_\text{vehicle}/C)^2}
\]
火箭方程
\[\mathrm{d}u=-C\frac{\mathrm{d}m}{m}
\]
\[\frac{\Delta u}{C}=\ln(MR)
\]
宇宙速度
低地轨道，\(\Delta u_{eff}\)
- 不考虑重力和空气阻力 7800 m/s
- 考虑重力，不考虑空气阻力 8000 m/s
- 考虑重力和空气阻力 9140 m/s
多级火箭系统
\[(m_{pl})_i=(m_0)_{i+1}
\]
\[\lambda_i=\frac{(m_{pl})_i}{(m_{pl})_{i-1}}
\]
\[\Delta u_{i}=C_{i}\ln(\frac{1}{\lambda_{i}+\delta_{i}})
\]
\[\Delta u_{tot}=\sum_{i}\Delta u_{i}=\sum_{i}C_{i}\ln(\frac{1}{\lambda_{i}+\delta_{i}})
\]
喷管计算
燃烧室总温 \(T_c\) ，总压 \(p_c\) ，速度为 0 。经过收缩-扩张喷管。等熵流。
喉部马赫数为 1，质量流率最大。
\[u_{e}=\sqrt{2C_P T_{c}\Big[1-\Big(\frac{p_e}{p_c}\Big)^{(\gamma-1)/\gamma}\Big]}
\]
定义 \(\displaystyle\Gamma=\sqrt{\frac{\gamma}{\Big(\dfrac{\gamma+1}{2}\Big)^{(\gamma+1)/(\gamma-1)}}}\)
\[\dot{m}_p=\dot{m}_{\max}=\frac{\Gamma}{\sqrt{R}}\frac{p_c A_{th}}{\sqrt{T_c}}
\]
\[\frac{A_e}{A_{th}}=\frac{\Gamma}{\displaystyle \sqrt{\frac{2\gamma}{\gamma-1} \left[\left(\frac{p_e}{p_c}\right)^{2/\gamma}-\left(\frac{p_e}{p_c}\right)^{(\gamma+1)/\gamma}\right]}}
\]
\[\frac{u_e}{u_{th}}=\sqrt{\frac{\gamma+1}{\gamma-1}\left[1-\left(\frac{p_e}{p_c}\right)^{(\gamma-1)/\gamma}\right]}
\]
理论推力(ideal)
\[\begin{aligned}
F_i&=\dot{m}_p u_e+(p_e-p_{a})A_e \\
&=p_cA_{th}\left[\Gamma\sqrt{\frac{2\gamma}{\gamma-1}\left[1-\left(\frac{p_e}{p_c}\right)^{(\gamma-1)/\gamma}\right]}+\frac{p_e-p_a}{p_c}\frac{A_e}{A_t}\right]
\end{aligned}
\]
最佳推力(opt)，最佳膨胀，\(p_e=p_a\)
最大推力(max)，\(p_e=p_a=0\) ，喷管出口无穷大
理论特征速度
\[C_i^*=\frac{\sqrt{RT_c}}{\Gamma}=\frac{p_c A_{th}}{\dot{m}_p}
\]
推力系数，0.6~2.2，无量纲，比较不同大小的发动机
\[C_F=\frac{F}{p_c A_{th}}
\]
有效速度
\[C=C_{Fi}C_x^{*}
\]
混合质量比
\[r=\frac{\dot{m}_{ox}}{\dot{m}_F}
\]
涡轮发动机
引言
涡喷发动机：单位推力大，推进效率低，噪声大，高速飞行
涡轮螺旋桨发动机：低速下推进效率高、飞行速度较低、噪声较大
涡扇发动机：推进效率较高、噪声较小、单位推力较大、大多数飞机
吸气式发动机发展方向
- RAMJET（冲压发动机）：飞行速度更高
- TBCC (涡轮基组合循环发动机)：从低速到高速
- PDE （爆震发动机）：定容燃烧，效率更高
理想 Brayton 循环
- 等熵压缩(2-3)(绝热可逆)
- 等压加热(燃烧)(3-4)
- 等熵膨胀(4-9)，动能包括在 \(\dot{W}_{t}\) 中
- 等压放热(9-2)，发动机外
热效率
\[\eta_T=\frac{\dot{W}_{out}}{\dot{Q}_{in}}=\frac{\dot{W}_{t}-\dot{W}_{c}}{\dot{Q}_{in}}=1-\frac{T_2}{T_3}=1-\frac{T_9}{T_4}
\]
单位流量的净输出功
\[\frac{\dot{W}_{out}}{\dot{m}}=C_P[(T_4-T_9)-(T_3-T_2)]
\]
真实涡扇发动机循环参数分析
符号含义
- \(\tau_r\) 环境流体的滞止温度和热力学温度之比
- \(\pi_r\) 环境流体的滞止压力和热力学压力之比
- \(\tau_\lambda\) 涡轮前燃烧室出口的滞止焓与环境流体的焓之比
d 进气道，c 压气机，b 燃烧室，t 涡轮，n 喷管，f 风扇，fn 风扇喷管。
- \(\tau_a\) 表示部件 a 的出口总温和入口总温之比
- \(\pi_a\) 表示部件 a 的出口总压和入口总压之比
环境和设计参数
飞行马赫数 \(M_0\) ，环境温度 \(T_0\) 。
涵道比 \(\alpha=\dfrac{\dot{m}_{fn}}{\dot{m}_c}\) 。
压气机、风扇、燃烧室各自的压缩比 \(\pi_{c}, \pi_{f}, \pi_{b}\) 。
涡轮材料和冷却技术的限制温度 \(T_{t4}\) ，燃料热值 \(\Delta h_c\) 。
性能参数
进气道、喷管绝热不等熵，\(\tau_d=\tau_n=\tau_{fn}=1\) ，\(\pi_{d}, \pi_n, \pi_{fn}\) 受摩擦力影响。
风扇、压气机、涡轮多变效率分别为 \(e_f\)、\(e_c\)、\(e_t\) 。
燃烧效率 \(\eta_b\) ，机械效率 \(\eta_m\) 。
燃烧前气体性质 \(\gamma_c, C_{Pc}\) ，燃烧后气体性质 \(\gamma_t, C_{Pt}\) 。
环境压力与喷管压力之比 \(\dfrac{p_0}{p_9}, \dfrac{p_0}{p_{19}}\) 。
待求参数
单位推力 \(\dfrac{F}{\dot{m}_0}\)
单位燃油消耗率 \(S=\dfrac{\dot{m}_f}{F}\)
\(TSFC=\dfrac{\dot{m}_f}T\)
油气比 \(f=\dfrac{\dot{m}_f}{\dot{m}_c}\)
推进效率 \(\eta_p=\dfrac{Fu_{0}}{\dot{W}_{out}}\)
热效率 \(\eta_T=\dfrac{\dot{W}_{out}}{(Q_{in})_{ideal}}\)
总效率 \(\eta_{0}=\eta_{c}\eta_{p}\)
可直接求
\[R_{c}=\frac{\gamma_{c}-1}{\gamma_{c}}C_{Pc}
\]
\[R_{t}=\frac{\gamma_{t}-1}{\gamma_{t}}C_{Pt}
\]
\[a_{0}=\sqrt{\gamma_{c}R_{c}T_{0}}
\]
\[u_{0}=a_{0}M_{0}
\]
\[\tau_\lambda=\frac{C_{Pt}T_{t4}}{C_{Pc}T_0}
\]
\[T_{t0}=T_{0}\left(1+\frac{\gamma_{c}-1}{2}M_{0}^{2}\right)
\]
\[\tau_{r}=\frac{T_{t0}}{T_{0}}=1+\frac{\gamma_{c}-1}{2}M_{0}^{2}
\]
\[\pi_{r}=\tau_{r}^{\gamma_{c}/(\gamma_{c}-1)}
\]
\[\tau_{f}=\pi_{f}^{(\gamma_{c}-1)/\gamma_{c}e_{f}} \quad \tau_{c}=\pi_{c}^{(\gamma_{c}-1)/\gamma_{c}e_{c}}
\]
第1步
发动机推力
\[F=(\dot{m}_{9}u_{9}-\dot{m}_{c}u_{0})+\dot{m}_{fn}(u_{19}-u_{0})+A_{9}(p_{9}-p_{0})+A_{19}(p_{19}-p_{0})
\]
其中 \(\dot{m}_{9}=\dot{m}_c+\dot{m}_f\) 。考虑 \(\alpha=\dfrac{\dot{m}_{fn}}{\dot{m}_c}\) ，\(f=\dfrac{\dot{m}_f}{\dot{m}_c}\) ，则单位推力
\[\begin{aligned}
\frac{F}{\dot{m}_{0}}=\frac{a_{0}}{1+\alpha}\left[(1+f)\frac{u_{9}}{a_{0}}+\alpha\frac{u_{19}}{a_{0}}-(1+\alpha)M_{0}\right] \\
+\frac{A_{9}p_{9}}{\dot{m}_{0}}(1-\frac{p_{0}}{P_{9}})+\frac{A_{9}p_{19}}{\dot{m}_{0}}(1-\frac{p_{0}}{p_{19}})
\end{aligned}
\]
\[\begin{aligned}
\frac{A_{9}p_{9}}{\dot{m}_{0}}=\frac{\dot{m}_{9}}{\dot{m}_{0}}\frac{A_{9}p_{9}}{\dot{m}_{9}}=\frac{\dot{m}_{9}}{\dot{m}_{0}}\frac{A_{9}p_{9}}{\rho_{9}A_{9}u_{9}}=\frac{\dot{m}_{9}}{\dot{m}_{0}}\frac{R_{9}T_{9}}{u_{9}} \\
=\frac{\dot{m}_{9}}{\dot{m}_{0}}\frac{R_{9}T_{9}}{R_{0}T_{0}}\frac{a_{0}^2}{\gamma_{0}u_{9}}=\frac{1+f}{1+\alpha}\frac{a_0 R_t}{\gamma_c R_c}\frac{T_9/T_0}{u_9/a_0}
\end{aligned}
\]
同理
\[\frac{A_{19}p_{19}}{\dot{m}_{0}}=\frac{\alpha}{1+\alpha}\frac{a_0}{\gamma_c}\frac{T_{19}/T_0}{u_{19}/a_0}
\]
则
\[\begin{aligned}
\frac{F}{\dot{m}_{0}}=&\frac{a_{0}}{1+\alpha}\Big[(1+f)\frac{u_{9}}{a_{0}}+\alpha\frac{u_{19}}{a_{0}}-(1+\alpha)M_{0} \\
&+(1+f)\frac{R_t}{\gamma_c R_c}\frac{T_9/T_0}{u_9/a_0}(1-\frac{p_{0}}{P_{9}})+\frac{\alpha}{\gamma_c}\frac{T_{19}/T_0}{u_{19}/a_0}(1-\frac{p_{0}}{p_{19}})\Big]
\end{aligned}
\]
可计算 \(\dfrac{F}{\dot{m}_{0}}\) ，但 \(f, \dfrac{u_9}{a_0}, \dfrac{u_{19}}{a_0}, \dfrac{T_9}{T_0}, \dfrac{T_{19}}{T_0}\) 未知。
第2步
\[\left(\frac{u_9}{a_0}\right)^2=\frac{a_9^2}{a_0^2}M_9^2=\frac{\gamma_t R_t}{\gamma_c R_c}\frac{T_9}{T_0}M_9^2
\]
同理
\[\left(\frac{u_{19}}{a_0}\right)^2=\frac{T_{19}}{T_0}M_{19}^2
\]
\(M_9, M_{19}\) 未知。
第3步
由
\[p_{t}=p\left[1+\frac{\gamma-1}{2}M^{2}\right]^{\gamma/(\gamma-1)}
\]
得
\[M_{9}^{2}=\frac{2}{\gamma_{t}-1}\left[\left(\frac{p_{t9}}{p_{9}}\right)^{(\gamma_{t}-1)/\gamma_{t}}-1\right]
\]
\[M_{19}^{2}=\frac{2}{\gamma_{c}-1}\left[\left(\frac{p_{t19}}{p_{19}}\right)^{(\gamma_{c}-1)/\gamma_{c}}-1\right]
\]
且有
\[\frac{p_{t9}}{p_{9}}=\pi_{n}\pi_{t}\pi_{b}\pi_{c}\pi_{d}\pi_{r}\frac{p_{0}}{p_{9}}
\]
\[\frac{p_{t19}}{p_{19}}=\pi_{fn}\pi_{f}\pi_{d}\pi_{r}\frac{p_{0}}{p_{19}}
\]
\(\pi_t\) 未知。
第4步
\[\frac{T_9}{T_0}=\frac{T_{t9}}{T_0}\frac{T_9}{T_{t9}}=\frac{T_{t9}}{T_0}\left(\frac{p_{t9}}{p_{9}}\right)^{-(\gamma_t-1)/\gamma_t}
\]
同理
\[\frac{T_{19}}{T_0}=\frac{T_{t19}}{T_0}\left(\frac{p_{t19}}{p_{19}}\right)^{-(\gamma_c-1)/\gamma_c}
\]
且有
\[\frac{T_{t9}}{T_{0}}=\tau_{n}\tau_{t}\tau_{b}\tau_{c}\tau_{d}\tau_{r}
\]
\[\frac{T_{t19}}{T_{0}}=\tau_{fn}\tau_{f}\tau_{d}\tau_{r}
\]
又由
\[\tau_{b}=\frac{T_{t4}}{T_{t3}}=\frac{C_{Pt}T_{t4}}{C_{Pc}T_{0}}\frac{C_{Pc}T_{0}}{C_{Pt}T_{t3}}=\tau_\lambda\frac{C_{Pc}}{C_{Pt}}\frac{T_{0}}{T_{t3}}=\frac{C_{Pc}}{C_{Pt}}\frac{\tau_\lambda}{\tau_{c}\tau_{d}\tau_{r}}
\]
得
\[\frac{T_{t9}}{T_{0}}=\frac{C_{Pc}}{C_{Pt}}\tau_{n}\tau_{t}\tau_\lambda
\]
\(\tau_{t}\) 未知。
第5步
燃烧
\[\dot{m}_{c}C_{Pc}T_{t3}+\eta_b\dot{m}_{f}\Delta h_{c}=(\dot{m}_{c}+\dot{m}_{f})C_{Pt}T_{t4}
\]
同除 \(\dot{m}_{c}C_{Pc}T_{0}\) ，代入 \(\tau_d=\tau_n=1\) ，得
\[f=\frac{\tau_{\lambda}-\tau_{c}\tau_{r}}{\dfrac{\eta_{b}\Delta h_{c}}{C_{Pc}T_{0}}-\tau_{\lambda}}
\]
\(f\) 可求。
第6步
\[\eta_{m}=\frac{\dot{W}_{c}+\dot{W}_{f}}{\dot{W}_{t}}
\]
\[\dot{W}_{c}=\dot{m}_{c}C_{Pc}(T_{t3}-T_{t2})
\]
\[\dot{W}_{f}=\dot{m}_{fn}C_{Pc}(T_{t13}-T_{t2})
\]
\[\dot{W}_{t}=(\dot{m}_{c}+\dot{m}_{f})C_{Pt}(T_{t4}-T_{t5})
\]
则有
\[\eta_{m}(1+f)C_{Pt}T_{t4}(1-\tau_{t})=C_{Pc}T_{t2}[(\tau_{c}-1)+\alpha(\tau_{f}-1)]
\]
又由
\[\frac{C_{Pt}T_{t4}}{C_{Pc}T_{t2}}=\frac{C_{pt}T_{t4}}{C_{pc}T_{0}}\frac{T_{0}}{T_{t2}}=\frac{\tau_{\lambda}}{\tau_r}
\]
得
\[\tau_t=1-\frac{\tau_r}{\tau_\lambda \eta_{m}(1+f)}[(\tau_{c}-1)+\alpha(\tau_{f}-1)]
\]
\[\pi_{t}=\tau_{t}^{\gamma_{t}/[(\gamma_{t}-1)e_{t}]}
\]
第7步
\[S=\frac{\dot{m}_f}{F}=\frac{f}{(1+\alpha)F/\dot{m}_0}
\]
第8步
\[\begin{aligned}
\eta_p&=\frac{Fu_{0}}{\dot{W}_{out}}=\frac{Fu_{0}}{\frac{1}{2}\dot{m}_{fn}(u_{19}^{2}-u_{0}^{2})+\frac{1}{2}(\dot{m}_{c}+\dot{m}_{f})u_{9}^{2}-\frac{1}{2}\dot{m}_{c}u_{0}^{2}} \\
&=\dfrac{2(1+\alpha) u_{0} F/\dot{m}_{0}}{a_{0}^{2}\left[(1+f)\Big(\dfrac{u_{9}}{a_{0}}\Big)^{2}+\alpha\Big(\dfrac{u_{19}}{a_{0}}\Big)^{2}-(1+\alpha)M_{0}^2\right]}
\end{aligned}
\]
\[\begin{aligned}
\eta_T&=\frac{\dot{W}_{out}}{(Q_{in})_{ideal}}=\frac{\frac{1}{2}\dot{m}_{fn}(u_{19}^{2}-u_{0}^{2})+\frac{1}{2}(\dot{m}_{c}+\dot{m}_{f})u_{9}^{2}-\frac{1}{2}\dot{m}_{c}u_{0}^{2}}{\dot{m}_f \Delta h_c} \\
&=\frac{a_{0}^{2}\left[(1+f)\Big(\dfrac{u_{9}}{a_{0}}\Big)^{2}+\alpha\Big(\dfrac{u_{19}}{a_{0}}\Big)^{2}-(1+\alpha)M_{0}^2\right]}{2f \Delta h_c}
\end{aligned}
\]
\[\eta_{0}=\eta_{T}\eta_{p}
\]
涡喷发动机
安装前推力
\[\begin{aligned}
F&=\dot{m}_{9}u_{9}-\dot{m}_{0}u_{0}+(p_{9}-p_{0})A_{9} \\
&\simeq\dot{m}_0(u_9-u_0)+(p_9-p_0)A_9
\end{aligned}
\]
安装后推力，考虑引擎舱的影响，有效推力计算应从 1-9
\[T=F-D=F-D_n-D_{add}
\]
\[D_n=\int_1^9(p-p_0)\mathrm{d}A_y
\]
\[D_{add}=\int_0^1(p-p_0)\mathrm{d}A_y
\]
对一维流动
\[D_{add}=p_{1}A_{1}(1+\gamma M_{1}^{2})-p_{0}A_{0}\gamma M_{0}^{2}-p_{0}A_{1}
\]
最佳推力，最佳膨胀 \(p_9=p_0\)
热效率
\[\eta_T=\frac{\dot{W}_{out}}{\dot{Q}_{in}}
\]
\[\dot{Q}_{in}=\dot{m}_f(\Delta h_{c,f})
\]
对涡喷发动机
\[\dot{W}_{out}=\frac12{\left[(\dot{m}_0+\dot{m}_f)u_9^2-\dot{m}_0u_0^2\right]}
\]
推进效率
\[\eta_p=\frac{Tu_0}{\dot{W}_{out}}\simeq\frac{Fu_0}{\dot{W}_{out}}\simeq\frac2{\dfrac{u_9}{u_0}+1}
\]
总效率
\[\eta_0=\frac{Tu_0}{\dot{Q}_{in}}=\frac{Tu_0}{\dot{W}_{out}}\frac{\dot{W}_{out}}{\dot{Q}_{in}}=\eta_p\eta_T
\]
或
\[\eta_0=\frac{Tu_0}{\dot{m}_f(\Delta h_c)}=\frac{u_0}{TSFC(\Delta h_c)}
\]
发动机推重比 \(\dfrac{F}{W_{engine}}\)
理想情况下循环参数分析
\[\dot{W}_{t}=\dot{W}_{0},\quad p_{t4}=p_{t3},\quad p_{9}=p_{0},\quad T_{t4}>T_{t3}
\]
\[\pi_b=\pi_d=\pi_n=1
\]
已知
- \(M_0\) 飞行马赫数
- \(T_0\) 环境温度
- \(\Delta h_c\) 燃料热值
- \(T_{t4}\) 涡轮材料和冷却技术的限制温度
- \(\pi_c\) 压气机的压缩比，设计参数选择
\[\tau_{\lambda}=\frac{T_{t4}}{T_{0}}
\]
\[\tau_{c}=\pi_{c}^{(\gamma-1)/\gamma}
\]
\[\tau_{r}=\frac{T_{t0}}{T_{0}}=1+\frac{\gamma-1}{2}M_{0}^2
\]
\[\pi_{r}=\tau_{r}^{\gamma/(\gamma-1)}
\]
\[a_{0}=\sqrt{\gamma R T_{0}}
\]
可求得发动机性能参数
\[\tau_{t}=1-\frac{\tau_{r}}{\tau_\lambda}(\tau_{c}-1)
\]
\[\frac{T_9}{T_0}=\tau_b=\frac{\tau_\lambda}{\tau_c \tau_r}
\]
\[\frac{u_{9}}{a_{0}}=\sqrt{\frac{2}{\gamma-1}\frac{\tau_\lambda}{\tau_c \tau_r}(\tau_t \tau_c \tau_r-1)}
\]
\[\frac{F}{\dot{m}_{0}}=a_{0}(\frac{u_{9}}{a_{0}}-M_{0})
\]
\[f=\frac{\dot{m}_f}{\dot{m}_0}=\frac{C_pT_{0}}{\Delta h_{c}}(\tau_\lambda-\tau_{c}\tau_{r})
\]
\[S=\frac{\dot{m}_f}{F}=\frac{f}{F/\dot{m}_{0}}
\]
\[\eta_T=1-\frac{1}{\tau_c \tau_r}
\]
\[\eta_p=\frac{2M_0}{u_9/a_0+M_0}
\]
\[\eta_0=\eta_p \eta_T
\]
涡扇发动机
理想情况下循环参数分析
\[\tau_{fn}=\pi_{fn}=\pi_d=1
\]
已知 \(T_0, M_0, \Delta h_c, T_{t4}, \pi_c, \pi_f, \alpha\)
发动机工作要求
\[\dot{W}_t=\dot{W}_f+\dot{W}_c
\]
\[p_0=p_9=p_{19}
\]
则
\[\tau_{r}=\frac{T_{t0}}{T_{0}}=1+\frac{\gamma-1}{2}M_{0}^{2}
\]
\[a_{0}=\sqrt{\gamma R T_{0}}
\]
\[\tau_{\lambda}=\frac{T_{t4}}{T_{0}}
\]
\[\tau_{c}=\pi_{c}^{(\gamma-1)/\gamma}
\]
\[\tau_{f}=\pi_{f}^{(\gamma-1)/\gamma}
\]
可求得发动机性能参数
\[\tau_{t}=1-\frac{\tau_{r}}{\tau_\lambda}[(\tau_{c}-1)+\alpha(\tau_{f}-1)]
\]
\[\frac{u_{9}}{a_{0}}=\sqrt{\frac{2}{\gamma-1}\frac{\tau_\lambda}{\tau_c \tau_r}(\tau_t \tau_c \tau_r-1)}
\]
\[\frac{u_{19}}{a_0}=M_{19}=\sqrt{\frac{2}{\gamma-1}(\tau_f \tau_r-1)}
\]
\[T_{19}=T_0
\]
\[\frac{T_{9}}{T_{0}}=\tau_{b}=\frac{\tau_\lambda}{\tau_r \tau_c}
\]
\[\frac{F}{\dot{m}_0}=\frac{a_{0}}{1+\alpha}\left[(\frac{u_{9}}{a_{0}}-M_{0})+\alpha(\frac{u_{19}}{a_{0}}-M_{0})\right]
\]
\[f=\frac{\dot{m}_f}{\dot{m}_c}=(1+\alpha)\frac{\dot{m}_f}{\dot{m}_0}=\frac{C_pT_{0}}{\Delta h_{c}}(\tau_\lambda-\tau_{c}\tau_{r})
\]
\[S=\frac{\dot{m}_f}{F}=\frac{f}{(1+\alpha)F/\dot{m}_{0}}
\]
\[\eta_T=1-\frac{1}{\tau_c \tau_r}
\]
\[\eta_p=\frac{F u_0}{\dot{W}_{out}}=\frac{2[\alpha(u_{19}/u_{0}-1)+(u_{9}/u_{0}-1)]}{\alpha([u_{19}/u_{0}]^2-1)+([u_{9}/u_{0}]^2-1)}
\]
\[\eta_0=\eta_p \eta_T
\]
推力比
\[FR=\frac{F_C/\dot{m}_{C}}{F_F/\dot{m}_{F}}=\frac{u_{9}/a_{0}-M_{0}}{u_{19}/a_{0}-M_{0}}
\]
