【BZOJ2001】[HNOI2010]城市建设（CDQ分治，线段树分治）
【BZOJ2001】[HNOI2010]城市建设（CDQ分治，线段树分治）
题面
题解
好神仙啊这题。原来想做一直不会做(然而YCB神仙早就切了），今天来怒写一发。
很明显这个玩意换种做法可以用线段树分治做，那么只需要\(LCT\)动态维护一下\(LCT\)就好了，时间复杂度？似乎是\(O(nlog^2m)\)的，每条边放在线段树上是一个\(log\)的，\(LCT\)还要一个\(log\)，然而常数十分大，大得一匹，洛谷上只能过\(80\)分。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
#define ll long long
#define MAX 50050
#define ls (t[x].ch[0])
#define rs (t[x].ch[1])
#define lson (now<<1)
#define rson (now<<1|1)
inline int read()
{
int x=0;bool t=false;char ch=getchar();
while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
if(ch=='-')t=true,ch=getchar();
while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
return t?-x:x;
}
struct Line{int u,v,w;}E[MAX<<2];
int n,m,Q,L[MAX];
vector<int> t[MAX<<2];
struct LCT
{
struct Node{int ch[2],ff,rev,v,mx;}t[MAX<<2];
int S[MAX<<2],top;
bool isroot(int x){return t[t[x].ff].ch[0]!=x&&t[t[x].ff].ch[1]!=x;}
void pushdown(int x){if(t[x].rev)t[ls].rev^=1,t[rs].rev^=1,t[x].rev=0,swap(ls,rs);}
void pushup(int x)
{
t[x].mx=x;
if(ls&&t[t[ls].mx].v>t[t[x].mx].v)t[x].mx=t[ls].mx;
if(rs&&t[t[rs].mx].v>t[t[x].mx].v)t[x].mx=t[rs].mx;
}
void rotate(int x)
{
int y=t[x].ff,z=t[y].ff;
int k=t[y].ch[1]==x;
if(!isroot(y))t[z].ch[t[z].ch[1]==y]=x;t[x].ff=z;
t[y].ch[k]=t[x].ch[k^1];t[t[x].ch[k^1]].ff=y;
t[x].ch[k^1]=y;t[y].ff=x;
pushup(y);pushup(x);
}
void Splay(int x)
{
S[top=1]=x;
for(int i=x;!isroot(i);i=t[i].ff)S[++top]=t[i].ff;
while(top)pushdown(S[top--]);
while(!isroot(x))
{
int y=t[x].ff,z=t[y].ff;
if(!isroot(y))
(t[y].ch[0]==x)^(t[z].ch[0]==y)?rotate(x):rotate(y);
rotate(x);
}
}
int getroot(int x){access(x);Splay(x);while(ls)x=ls;return x;}
void access(int x){for(int y=0;x;y=x,x=t[x].ff)Splay(x),rs=y,pushup(x);}
void makeroot(int x){access(x);Splay(x);t[x].rev^=1;}
void split(int x,int y){makeroot(x);access(y);Splay(y);}
void cut(int x,int y){split(x,y);t[x].ff=t[y].ch[0]=0;pushup(y);}
void link(int x,int y){makeroot(x);t[x].ff=y;}
int Query(int x,int y){split(x,y);return t[y].mx;}
}T;
void Modify(int now,int l,int r,int L,int R,int x)
{
if(L>R)return;
if(L<=l&&r<=R){t[now].push_back(x);return;}
int mid=(l+r)>>1;
if(L<=mid)Modify(lson,l,mid,L,R,x);
if(R>mid)Modify(rson,mid+1,r,L,R,x);
}
int SS[MAX<<2],st[MAX<<2];
ll Ans,ans[MAX];int Stop;
void Query(int now,int l,int r)
{
//Add edge
int ltop=Stop,mid=(l+r)>>1;
for(int i=0,l=t[now].size();i<l;++i)
{
int p=t[now][i],u=E[p].u,v=E[p].v,w=E[p].w;
if(T.getroot(u)==T.getroot(v))
{
int mx=T.Query(u,v);
if(T.t[mx].v>w)
{
T.cut(E[mx-n].u,mx),T.cut(E[mx-n].v,mx),Ans-=E[mx-n].w;
SS[++Stop]=mx-n;st[Stop]=1;
}
else continue;
}
T.link(p+n,u);T.link(p+n,v);Ans+=w;
SS[++Stop]=p;st[Stop]=-1;
}
if(l==r)ans[l]=Ans;
else Query(lson,l,mid),Query(rson,mid+1,r);
for(int i=Stop;i>ltop;--i)
if(st[i]<0)T.cut(SS[i]+n,E[SS[i]].u),T.cut(SS[i]+n,E[SS[i]].v),Ans-=E[SS[i]].w;
else T.link(SS[i]+n,E[SS[i]].u),T.link(SS[i]+n,E[SS[i]].v),Ans+=E[SS[i]].w;
Stop=ltop;
}
int pos[MAX],cnt;
int main()
{
n=read();m=read();Q=read();cnt=m;
for(int i=1;i<=m;++i)pos[i]=i;
for(int i=1;i<=m;++i)E[i].u=read(),E[i].v=read(),E[i].w=read(),L[i]=1;
for(int i=1;i<=Q;++i)
{
int k=read(),d=read(),x=pos[k];
Modify(1,1,Q,L[k],i-1,x);L[k]=i;
E[++cnt]=E[x];E[cnt].w=d;pos[k]=cnt;
}
for(int i=1;i<=cnt;++i)T.t[i+n].v=E[i].w;
for(int i=1;i<=m;++i)Modify(1,1,Q,L[i],Q,pos[i]);
Query(1,1,Q);
for(int i=1;i<=Q;++i)printf("%lld\n",ans[i]);
return 0;
}
然而正解的\(CDQ\)分治太神仙了，以至于我花了很久才咕完这题。
思路很容易讲清楚：
每次考虑当前的所有边，我们考虑我们的分治区间，有些边会被修改，有些边不会被修改。会在区间内被修改的边我们显然只能递归处理，考虑不会被修改的边，那么这些边只有三种情况：第一种是必定在\(MST\)的边，那么这些边我们直接连上，这样子可以缩点。另外一种边是一定不会出现在\(MST\)的边，那么这种边我们直接丢掉就好了。还有一种是不知道的边，那么我们直接递归处理即可。
时间复杂度？不会证，听说两个\(log\)。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
#define MAX 50050
#define inf 1e9
inline int read()
{
int x=0;bool t=false;char ch=getchar();
while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
if(ch=='-')t=true,ch=getchar();
while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
return t?-x:x;
}
struct Line{int u,v,w,id;}E[MAX],St[MAX],e[30][MAX],tmp[MAX];
bool operator<(Line a,Line b){return a.w<b.w;}
struct Query{int x,w;}q[MAX];
int n,m,Q;ll ans[MAX];
int f[MAX],c[MAX],cnt;
int getf(int x){return x==f[x]?x:f[x]=getf(f[x]);}
void init(int x)
{
for(int i=1;i<=x;++i)f[tmp[i].u]=tmp[i].u;
for(int i=1;i<=x;++i)f[tmp[i].v]=tmp[i].v;
}
int W[MAX],size[50];
void Contraction(int &z,ll &Ans)
{
init(z);sort(&tmp[1],&tmp[z+1]);int top=0;
for(int i=1;i<=z;++i)
if(getf(tmp[i].u)!=getf(tmp[i].v))
f[getf(tmp[i].u)]=getf(tmp[i].v),St[++top]=tmp[i];
for(int i=1;i<=top;++i)f[St[i].u]=St[i].u,f[St[i].v]=St[i].v;
for(int i=1;i<=top;++i)//Get the edge must be used
if(St[i].w>-inf)
f[getf(St[i].u)]=getf(St[i].v),Ans+=St[i].w;
top=0;
for(int i=1;i<=z;++i)
if(getf(tmp[i].u)!=getf(tmp[i].v))//Get the edge may be used
{
St[++top]=tmp[i];
c[tmp[i].id]=top;
St[top].u=getf(tmp[i].u);
St[top].v=getf(tmp[i].v);
}
z=top;for(int i=1;i<=top;++i)tmp[i]=St[i];
}
void Reduction(int &z)
{
init(z);sort(&tmp[1],&tmp[z+1]);int top=0;
for(int i=1;i<=z;++i)//Delete the edge will
if(getf(tmp[i].u)!=getf(tmp[i].v))
f[getf(tmp[i].u)]=getf(tmp[i].v),St[++top]=tmp[i],c[tmp[i].id]=top;
else if(tmp[i].w>=inf)St[++top]=tmp[i],c[tmp[i].id]=top;
z=top;for(int i=1;i<=top;++i)tmp[i]=St[i];
}
void CDQ(int l,int r,int dep,ll Ans)
{
if(l==r)W[q[l].x]=q[l].w;//modify
int z=size[dep],mid=(l+r)>>1;
for(int i=1;i<=z;++i)e[dep][i].w=W[e[dep][i].id];
for(int i=1;i<=z;++i)tmp[i]=e[dep][i],c[tmp[i].id]=i;
if(l==r)//Get MST
{
init(z);sort(&tmp[1],&tmp[z+1]);
for(int i=1;i<=z;++i)
if(getf(tmp[i].u)!=getf(tmp[i].v))
f[getf(tmp[i].u)]=getf(tmp[i].v),Ans+=tmp[i].w;
ans[l]=Ans;return;
}
for(int i=l;i<=r;++i)tmp[c[q[i].x]].w=-inf;
Contraction(z,Ans);
for(int i=l;i<=r;++i)tmp[c[q[i].x]].w=+inf;
Reduction(z);
for(int i=1;i<=z;++i)e[dep+1][i]=tmp[i];size[dep+1]=z;
CDQ(l,mid,dep+1,Ans);CDQ(mid+1,r,dep+1,Ans);
}
int main()
{
n=read();m=read();Q=read();
for(int i=1;i<=m;++i)E[i].u=read(),E[i].v=read(),E[i].w=read(),E[i].id=i;
for(int i=1;i<=Q;++i)q[i].x=read(),q[i].w=read();
for(int i=1;i<=m;++i)W[i]=E[i].w;
for(int i=1;i<=m;++i)e[0][i]=E[i];
size[0]=m;CDQ(1,Q,0,0);
for(int i=1;i<=Q;++i)printf("%lld\n",ans[i]);
return 0;
}
