【BZOJ1413】[ZJOI2009]取石子游戏（博弈论，动态规划）
【BZOJ1413】[ZJOI2009]取石子游戏（博弈论，动态规划）
题面
题解
神仙题.jpg。\(ZJOI\)是真的神仙。
发现\(SG\)函数等东西完全找不到规律，无奈只能翻题解。
首先设\(L[i][j]\)表示在\([i,j]\)这一段区间的左侧放上一堆数量为\(L[i][j]\)的石子后，先手必败。同理定义\(R[i][j]\)表示右侧。
首先我们可以证明\(L[i][j]\)唯一，假设存在两个\(L[i][j]\)，显然较大的那个可以通过一步转移转移到较小的那个，所以不合法。因此\(L[i][j]\)唯一。
接下来考虑如何证明\(L[i][j]\)一定存在。假设\(L[i][j]\)不存在，那么对于这段区间而言，在左边加上任意一堆石子先手都必胜，既然先手必胜意味着先手进行一步操作之后可以到达一个必败态，这里分情况讨论。假设先手拿的是最左边的一堆石子，因为不存在\(L[i][j]\)，所以只要拿了左边的石子之后，当前局面都是必胜态，所以不可能拿左边的石子。那么只能拿右边的石子，那么无论右边拿了一定量之后，无论左边添加了多少，都是一个必败态，那么此时后手在左侧随便拿走一定数量，这个状态也还是一个必败态，显然也不成立。因此\(L[i][j]\)必定存在。
综上，我们知道了\(L[i][j]\)一定存在并且唯一，而\(L[][],R[][]\)显然是对称的，因此\(R[i][j]\)也满足上述性质。
现在考虑如何求解\(L[i][j]\),\(R[i][j]\)同理。首先边界情况显然，\(L[i][i]=a[i]\)，因为只剩下两堆一模一样的情况的时候，后手只需要模仿先手的行动对称执行就好了，这样子一定不会输，即先手必败。
接下来来大力分类讨论，为了方便(为了抄)，设\(L=L[i][j-1],R=R[i][j-1],x=a[j]\)
- \(x=R\)
这种情况下显然只需要直接把\(a[j]\)放进去就好了，即这个区间本身就是一个必败态。所以\(L[i][j]=0\)。 - \(x<L,x<R\)
这种情况下\(L[i][j]=x\)。这种情况下最靠左的\(L[i][j]\)和\(x=a[j]\)是相同的，意味着先手无论怎么取，后手显然可以学着它的方法取，也就意味着左右两堆中显然必然会先拿完一堆，此时后手学着拿的那一堆的石子数一定也是小于\(L,R\)的。假设先手先拿完了最靠右的一堆，即剩下了\([i,j-1]\)，因为\(L[i][j-1]\)表示的是在这一段区间最左侧加入一个\(L[i][j-1]\)的堆，无论先手怎么取先手都是必败的，那么我们等价的认为先手取走了这一堆的一部分，显然后手是必胜的。假如先手先取完的是最左的一堆，同理，\(R[i][j-1]\)的含义是在最右侧加入了一堆，而\(a[j]<R[i][j-1]\)，我们还是可以等价的认为先手在这一堆中取走了若干石子，而这个状态对于先手而言是必败状态，因此显然后手必胜。 - \(R<x<L\)
这种情况下\(L[i][j]=x-1\)。这样子考虑，假设先手先拿了左边这一堆，那么假设还剩下了\(z\)个石子，如果\(z<R\)，后手把右侧的那一堆也给拿成\(z\)就变成了上面的情况。如果\(z\ge R\)，那么后手把最后那一堆拿成\(z+1\)，于是又回到了这种情况，相当于这种情况递归处理。如果先手先拿的是右侧的这一堆，还是一样的，假设把它拿成了\(z\)，如果\(z<R\)，同上可以变成\(x<L,x<R\)的情况；如果\(y=R\)，直接把左边拿完，就变成了\(R[i][j-1]\)的定义了，先手必败；如果\(z>R\)，把左边那堆变成\(z-1\)，同样递归处理。 - \(L<x<R\)
分析同上，\(L[i][j]=x+1\)。 - \(x>L,x>R\)
\(L[i][j]=x\)。还是一样的，假设先手把其中一堆拿成了\(z\)。如果\(z>L,R\)，跟着先手拿成一样多的石子则又回到了这种情况。如果\(z<L,R\)，则可以回到情况\(x<L,R\)。否则的话对应着把另外一堆变成\(z+1\)或者\(z-1\)，对应着\(L<x<R\)和\(R<x<L\)两种情况。
而\(R[][]\)和\(L[][]\)是对称的，类似的求解即可。
那么最终只需要判断\(L[2][n]\)和\(a[1]\)是否相等即可判断胜负情况。
代码有点丑
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define MAX 1010
inline int read()
{
int x=0;bool t=false;char ch=getchar();
while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
if(ch=='-')t=true,ch=getchar();
while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
return t?-x:x;
}
int n,a[MAX],L[MAX][MAX],R[MAX][MAX];
int main()
{
int T=read();
while(T--)
{
n=read();
for(int i=1;i<=n;++i)a[i]=read();
for(int i=1;i<=n;++i)L[i][i]=R[i][i]=a[i];
for(int len=2;len<=n;++len)
for(int i=1,j=i+len-1;j<=n;++i,++j)
{
int x=a[j],l=L[i][j-1],r=R[i][j-1];
if(x==r)L[i][j]=0;
else if((x>l&&x>r)||(x<l&&x<r))L[i][j]=x;
else if(r<x&&x<l)L[i][j]=x-1;
else L[i][j]=x+1;
x=a[i],l=L[i+1][j],r=R[i+1][j];
if(x==l)R[i][j]=0;
else if((x>l&&x>r)||(x<l&&x<r))R[i][j]=x;
else if(r<x&&x<l)R[i][j]=x+1;
else R[i][j]=x-1;
}
puts(a[1]==L[2][n]?"0":"1");
}
}
