【BZOJ2839】集合计数（容斥，动态规划）

【BZOJ2839】集合计数（容斥，动态规划）

题面

BZOJ
权限题

Description

一个有N个元素的集合有2^{N个不同子集（包含空集），现在要在这2}N个集合中取出若干集合（至少一个），使得
它们的交集的元素个数为K，求取法的方案数，答案模1000000007。（是质数喔~）

Input

一行两个整数N,K

Output

一行为答案。

Sample Input

3 2

Sample Output

6

题解

比较简单的容斥吧。。
设\(f[i]\)表示至少有\(i\)个相同元素的方案数
\(f[i]=C_n^k(2^{2^{n-k}}-1)\)
然后显然\(f[i]=\sum_{j=i}^n (-1)^{j-i}f[i]*C_j^i\)
时间复杂度\(O(nlogn)\)，瓶颈在快速幂

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
#define ll long long
#define MOD 1000000007
#define MAX 1000001
inline int read()
{
	int x=0;bool t=false;char ch=getchar();
	while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
	if(ch=='-')t=true,ch=getchar();
	while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
	return t?-x:x;
}
int fpow(int a,int b,int mod)
{
	int s=1;
	while(b){if(b&1)s=1ll*s*a%mod;a=1ll*a*a%mod;b>>=1;}
	return s;
}
int f[MAX],n,k;
int jc[MAX],jv[MAX],inv[MAX];
int C(int n,int m){return 1ll*jc[n]*jv[m]%MOD*jv[n-m]%MOD;}
int main()
{
	n=read(),k=read();
	jc[0]=jv[0]=inv[0]=inv[1]=1;
	for(int i=1;i<=n;++i)jc[i]=1ll*jc[i-1]*i%MOD;
	for(int i=2;i<=n;++i)inv[i]=1ll*inv[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;
	for(int i=1;i<=n;++i)jv[i]=1ll*jv[i-1]*inv[i]%MOD;
	for(int i=k;i<=n;++i)f[i]=1ll*C(n,i)*(fpow(2,fpow(2,n-i,MOD-1),MOD)-1)%MOD;
	for(int i=k+1,d=1;i<=n;++i,d=MOD-d)f[k]=(f[k]+MOD-1ll*f[i]*C(i,k)%MOD*d%MOD)%MOD;
	printf("%d\n",f[k]);
	return 0;
}