【BZOJ2655】Calc（拉格朗日插值，动态规划）

【BZOJ2655】Calc（多项式插值，动态规划）

题面

BZOJ

题解

考虑如何\(dp\)
设\(f[i][j]\)表示选择了\(i\)个数并且值域在\([1,j]\)的答案。
\(f[i][j]=f[i-1][j-1]*i*j+f[i][j-1]\)
即不考虑选择\(j\)，以及当前选择\(j\)，那么枚举是哪个数，转移即可。
时间复杂度\(O(An)\)。
碰到这种东西我们直接假装它是一个若干次的多项式。
先假设是个\(n\)次多项式，发现不对，
再试试\(2n\)次多项式，恩，很对，
那么直接拉格朗日插值就好了。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
#define MAX 505
inline int read()
{
	int x=0;bool t=false;char ch=getchar();
    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
    if(ch=='-')t=true,ch=getchar();
    while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return t?-x:x;
}
int A,n,m,MOD,f[MAX][MAX<<1];
int fpow(int a,int b)
{
	int s=1;
	while(b){if(b&1)s=1ll*s*a%MOD;a=1ll*a*a%MOD;b>>=1;}
	return s;
}
int Calc(int x)
{
	if(x<=m)return f[n][x];
	int tmp=1,ret=0,bs=(n&1)?MOD-1:1;
	for(int i=1;i<=m;++i)tmp=1ll*tmp*(x-i)%MOD;
	for(int i=1;i<=m;++i)tmp=1ll*tmp*fpow(i,MOD-2)%MOD;
	for(int i=0;i<=m;++i,bs=MOD-bs)
	{
		ret=(ret+1ll*bs*f[n][i]%MOD*tmp%MOD)%MOD;
		tmp=1ll*tmp*(x-i)%MOD*fpow(x-i-1,MOD-2)%MOD;
		tmp=1ll*tmp*(m-i)%MOD*fpow(i+1,MOD-2)%MOD;
	}
	return ret;
}
int main()
{
	A=read();n=read();MOD=read();
	m=min(n+n,A);f[0][0]=1;
	for(int j=1;j<=m;f[0][j]=1,++j)
		for(int i=1;i<=n;++i)
			f[i][j]=(f[i][j-1]+1ll*f[i-1][j-1]*i%MOD*j%MOD)%MOD;
	printf("%d\n",Calc(A));
	return 0;
}