【BZOJ2216】Lightning Conductor（动态规划）

【BZOJ2216】Lightning Conductor（动态规划）

题面

BZOJ，然而是权限题
洛谷

题解

\(\sqrt {|i-j|}\)似乎没什么意义，只需要从前往后做一次再从后往前做一次就好了。
只考虑从前往后，把给定的式子移项，可以得到
\(p\ge a[j]-a[i]+\sqrt{i-j}\)
而\(a[i]\)是当前的枚举的位置\(i\)的值，这个是不会变化的。
所以要求的就是\(max(a[j]-\sqrt{i-j})\)
画出\(\sqrt x\)的函数图像，是一个增长率越来越慢的函数。
那么，如果当前转移\(i\)的时候，\(j\)优于\(k\)(\(k\lt j\))，
那么接下来转移\(i+1\)的时候同样\(j\)更优。
既然具有了决策单调性，直接二分就好了。
维护一个单调队列，存下当前位置\(j\)转移到哪些区间是更优的，
不难发现这个区间一定是\([l,n]\)，当然也可能是个空区间。
插入的时候也二分修改一下就好了。有点类似于诗人小G那题。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
#define RG register
#define MAX 500500
inline int read()
{
    RG int x=0,t=1;RG char ch=getchar();
    while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
    if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();
    while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
    return x*t;
}
struct Node{int i,l,r;}Q[MAX];
int h,t;
int n,a[MAX];
double f[MAX];
double Trans(int j,int i){return a[j]+sqrt(i-j);}
void Work()
{
	Q[h=t=1]=(Node){1,2,n};
	for(int i=2;i<=n;++i)
	{
		while(h<=t&&Q[h].r<i)++h;Q[h].l=i;
		f[i]=max(f[i],Trans(Q[h].i,i)-a[i]);
		while(h<=t&&Trans(Q[t].i,Q[t].l)<Trans(i,Q[t].l))--t;
		if(h>t){Q[++t]=(Node){i,i,n};continue;}
		int l=Q[t].l,r=Q[t].r,ret=Q[t].r+1;
		while(l<=r)
		{
			int mid=(l+r)>>1;
			if(Trans(Q[t].i,mid)<Trans(i,mid))ret=mid,r=mid-1;
			else l=mid+1;
		}
		if(ret!=Q[t].l)Q[t].r=ret-1;else --t;
		if(ret<=n)Q[++t]=(Node){i,ret,n};
	}
}
int main()
{
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;++i)a[i]=read();
	Work();reverse(&a[1],&a[n+1]);reverse(&f[1],&f[n+1]);
	Work();reverse(&f[1],&f[n+1]);
	for(int i=1;i<=n;++i)printf("%d\n",(int)(ceil(f[i])));
	return 0;
}