有上下界网络流问题
有上下界网络流
有上下界的网络流即是在普通的网络流的基础上，额外添加每条边流量的限制。
普通的网络流可以认为是特殊情况的上下界网络流，即流量限制为\(f_i\in [0,maxflow]\)
而现在，我们要求的每条边的容量限制为\(f_i\in [B_i,C_i]\)
这类问题我们大致可以分成三类。
无源汇 上下界可行流
因为没有源点和汇点，所以所有点都要满足流量平衡。
如果我们能够不考虑下界的话，就直接可以照搬最大流。
因为下界是一定要流满的，所以我们先强制所有边流满下界，只考虑剩下的流量\(g_i\)。
那么，也就是对于每一个点\(x\)，都要满足流量平衡的方程：
如果能够满足这个方程的话，每条边流量为\(B_i+g_i\)即是一组可行流。
考虑将流量分类，因为\(B\)是已知量，所以移项考虑左侧\(B\)和右侧\(g\)
假设左侧\(M(x)=\sum B_{(u,x)}-\sum B_{(x,v)}\)
所以变成了需要满足\(M(x)=\sum g_{(x,v)}-\sum g_{(u,x)}\)
因为不知道谁大谁小，所以按照\(M\)大小进行分类讨论
如果\(M(x)\ge 0\)，那么有\(\sum g_{out}=\sum g_{in}+M\)
也就是流出需要比流入的流量要多\(M\)，但是需要满足流入等于流出。
所以建立一个超级源，连边\((S,x)\)，容量为\(M\)，来补足流入少的\(M\)
反之，如果\(M(x)\lt 0\)
也就是流入多于流出，那么需要额外流出\(M\)，
同理建立超级汇，连边\((x,T)\)，容量为\(-M\)，补足流出不足的\(M\)
现在已经可以满足流量平衡了，在当前图上跑最大流。
因为上面的所有\(M\)都是已知量，也就是如果可行流存在的话，
所有的流出源和流入汇的所有边必须满流，否则无法补足上述流量下界要求的东西。
所以这里就可以解决无源汇可行流的问题。
有源汇 上下界可行流
依然是可行流问题，上面已经解决了无源汇的可行流问题，考虑能否将当前的有源汇转化为无源汇。
显然有源汇的的可行流中，除了源汇之外的所有点都满足流量平衡。
而流出源的容量等于流入汇的流量，所以连边汇到源，容量为\(inf\)，这样所有点都可以满足流量平衡。
同时没有了源汇，转换为了无源汇上下界可行流问题。
有源汇 上下界最大流
由可行流变为了最大流问题。
首先明确一点，最大流一定是可行流，所以一定要先判断是否存在可行流。
跑完可行流之后可能有一些边还可以接着流，既然已经存在可行流了。
删除超级源超级汇，以及\(T->S\)的边，再在残余网络上解决最大流即可。
(超级源汇没有必要删去，因为不会答案产生影响)
那么答案就是残余网络上的最大流加上可行流。
注意一下可行流是什么东西，是\(T->S\)这条边流过的流量。
不要和超级源超级汇之间的流量搞混了。
有源汇 上下界最小流
最小流问题，在没有上下界限制的时候是没有意义的。（因为你可以所有边都不动啊）
首先还是判断可行流是否存在。
和上面一样删除掉超级源汇以及\(T->S\)的边，继续在残余网络上考虑。
其实只需要尽可能退流就好了，也就是求\(T->S\)的最大流，然后用可行流-最大流即可。
Last
这套理论从这里学的，这个博主好强啊orzorz
